(1 ponto) Uma concessionária de carros deseja estimar a porcentagem de pessoas que compram um carro zero a cada 5 anos, no máximo. Considerando pesquisas anteriores, essa estimativa é de
. Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que, para o intervalo de confiança de
, a margem de erro da estimativa seja de no máximo 1.9 pontos percentuaís? (Considerar a aproximação indicada na equação disponível no conjunto de fórmulas fornecidas para a prova e aproximar o quantil usando a tabela com 2 casas decimais.)
a. 1156
b. 1214
c. 810
d. 1185
e. 1098
a. 1156
b. 1214
c. 810
d. 1185
e. 1098
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Estimativa da proporção:
. - Nível de confiança:
. - Margem de erro máxima desejada:
.
- Estimativa da proporção:
- O que o enunciado pede:
- Determinar o tamanho mínimo da amostra
para que, com de confiança, a margem de erro seja no máximo pontos percentuais.
- Determinar o tamanho mínimo da amostra
- Observação: o enunciado pede usar a aproximação indicada (fórmula padrão para proporção) e aproximar o quantil usando tabela com 2 casas decimais (para
isso corresponde a ).
Passo 2
Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar cada símbolo.
- Fórmula da margem de erro para proporção (aproximação pelo teorema do limite central):
Onde: -
é a margem de erro desejada (em proporção, não em porcentagem), -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança, -
é a proporção estimada (em proporção, não em porcentagem), -
é o tamanho da amostra (o que queremos achar).
-
- Para isolar
resolvemos a fórmula para : Explicando: multiplicamos ambos os lados por , dividimos por e isolamos .
Passo 3
Determinar o valor de
para
de confiança.
- Para nível de confiança
temos e . - O quantil buscado é
. Usando tabela com duas casas decimais, . - Portanto usaremos
.
Passo 4
Converter percentuais em proporções (forma decimal) para usar na fórmula.
- A estimativa
corresponde a . Em notação pedida: -
.
-
- A margem de erro
corresponde a . -
.
-
Passo 5
Calcular
.
- Primeiro
. - Então
Expliquei: multiplicar a proporção pela sua complementar dá a variância da Bernoulli (por observação), que é a peça central nesta fórmula.
Passo 6
Calcular o numerador
.
-
. - Multiplicando:
Faço a multiplicação direta para manter precisão suficiente.
Passo 7
Calcular o denominador
.
Passo 8
Calcular
(valor não arredondado).
- Aplicando a fórmula:
Interpretação: o valor calculado dá o tamanho necessário da amostra como número real; como precisamos de tamanho em número inteiro, deve-se arredondar para cima para garantir que a margem de erro seja no máximo a desejada.
Passo 9
Arredondamento para obter o tamanho mínimo inteiro.
- Como
deve ser inteiro e precisamos garantir , devemos tomar o teto de , ou seja . - Portanto o tamanho mínimo da amostra é
.
Passo 10
Conclusão e correspondência com as alternativas.
- O valor calculado
coincide com a alternativa (a).
Resposta
a. 1156