(1 ponto) Uma concessionária de carros deseja estimar a porcentagem de pessoas que compram um carro zero a cada 5 anos, no máximo. Considerando pesquisas anteriores, essa estimativa é de 12.4 \%. Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que, para o intervalo de confiança de 95 \%, a margem de erro da estimativa seja de no máximo 1.9 pontos percentuaís? (Considerar a aproximação indicada na equação disponível no conjunto de fórmulas fornecidas para a prova e aproximar o quantil usando a tabela com 2 casas decimais.)
a. 1156
b. 1214
c. 810
d. 1185
e. 1098

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Estimativa da proporção: p=12,4\%.
    • Nível de confiança: 95\%.
    • Margem de erro máxima desejada: E=1,9\%.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o tamanho mínimo da amostra n para que, com 95\% de confiança, a margem de erro seja no máximo 1,9 pontos percentuais.
  • Observação: o enunciado pede usar a aproximação indicada (fórmula padrão para proporção) e aproximar o quantil usando tabela com 2 casas decimais (para 95\% isso corresponde a z_{0,975}=1,96).

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar cada símbolo.
  • Fórmula da margem de erro para proporção (aproximação pelo teorema do limite central): E = z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}.Onde:
    • E é a margem de erro desejada (em proporção, não em porcentagem),
    • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança,
    • p é a proporção estimada (em proporção, não em porcentagem),
    • n é o tamanho da amostra (o que queremos achar).
  • Para isolar n resolvemos a fórmula para n: n = \dfrac{z_{\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{E^{2}}.Explicando: multiplicamos ambos os lados por n, dividimos por E^2 e isolamos n.

Passo 3

Determinar o valor de z_{\alpha/2} para 95\% de confiança.
  • Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025.
  • O quantil buscado é z_{0,975}. Usando tabela com duas casas decimais, z_{0,975}=1,96.
  • Portanto usaremos z_{\alpha/2}=1,96.

Passo 4

Converter percentuais em proporções (forma decimal) para usar na fórmula.
  • A estimativa p=12,4\% corresponde a p=0,124. Em notação pedida:
    • p=0,124.
  • A margem de erro E=1,9\% corresponde a E=0,019.
    • E=0,019.

Passo 5

Calcular p(1-p).
  • Primeiro 1-p = 1 - 0,124 = 0,876.
  • Então p(1-p) = 0,124\cdot 0,876 = 0,108624.Expliquei: multiplicar a proporção pela sua complementar dá a variância da Bernoulli (por observação), que é a peça central nesta fórmula.

Passo 6

Calcular o numerador z^{2} p(1-p).
  • z^{2} = 1,96^{2} = 3,8416.
  • Multiplicando: z^{2}p(1-p) = 3,8416 \cdot 0,108624 \approx 0,4172899584.Faço a multiplicação direta para manter precisão suficiente.

Passo 7

Calcular o denominador E^{2}.
  • E^{2} = 0,019^{2} = 0,000361.

Passo 8

Calcular n (valor não arredondado).
  • Aplicando a fórmula: n = \dfrac{0,4172899584}{0,000361} \approx 1155,92.Interpretação: o valor calculado dá o tamanho necessário da amostra como número real; como precisamos de tamanho em número inteiro, deve-se arredondar para cima para garantir que a margem de erro seja no máximo a desejada.

Passo 9

Arredondamento para obter o tamanho mínimo inteiro.
  • Como n deve ser inteiro e precisamos garantir E\le 0,019, devemos tomar o teto de 1155,92, ou seja n=1156.
  • Portanto o tamanho mínimo da amostra é 1156.

Passo 10

Conclusão e correspondência com as alternativas.
  • O valor calculado 1156 coincide com a alternativa (a).

Resposta

a. 1156

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