(1 ponto) Estima-se que no Brasil, há cerca de 40 mil adultos interessados em adoção. A idade da criança ao ser adotada é uma variável aleatória com Função de Distribuição Acumulada
F(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\\ \frac{\sqrt{x}}{3.792}, & 0 \leq x<6 \\\\ 0.059 x+0.292, & 6 \leq x \leq 12 \\\\ 1, & x>12\end{cases}
Segundo esse modelo, qual é a probabilidade de uma criança adotada, selecionada ao acaso, ter sido adotada com idade entre 3 e 13 anos?
a. 0.457
(b. 0.543
c. 0.250
d. 0.236
e. 0.516

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de uma criança adotada, escolhida ao acaso, ter sido adotada com idade entre 3\) e \(13\) anos. Informações relevantes fornecidas (peguei essas da função de distribuição acumulada do enunciado): - A variável aleatória é a idade da criança ao ser adotada, com função de distribuição acumulada \(F(x)\) dada por \[F(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\\ \dfrac{\sqrt{x}}{3,792}, & 0 \leq x<6 \\\\ 0,059\,x+0,292, & 6 \leq x \leq 12 \\\\ 1, & x>12\end{cases}
  • O intervalo que nos interessa é entre 3\] e \(13 anos (ou seja, calcular a probabilidade de X estar em [3,13] ou “entre 3 e 13”).

Passo 2

Lembrando a propriedade básica de função de distribuição acumulada (CDF): para qualquer a<b,
\mathbb{P}(a\le X\le b)=F(b)-F(a^-).
Para variáveis contínuas (ou quando F é contínua em a), isso equivale a
\mathbb{P}(a\le X\le b)=F(b)-F(a).
Aqui a função F é contínua nos pontos interiores aos trechos fornecidos; além disso, pontos isolados não afetam probabilidade em variáveis contínuas, portanto podemos usar a forma F(b)-F(a).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: queremos \mathbb{P}(3\le X\le 13)=F(13)-F(3).
Agora escolhemos qual ramo da definição de F usar em cada ponto:
  • Para x=3 vale 0\le x<6, então pega-se o ramo \displaystyle F(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{3,792}. Logo
F(3)=\dfrac{\sqrt{3}}{3,792}.
  • Para x=13 vale x>12, então F(13)=1.

Passo 4

Calcular numericamente F(3):
\sqrt{3}\approx 1,73205, \qquad F(3)=\dfrac{1,73205}{3,792}\approx 0,4568.
(foi feita a divisão direta e arredondada em quatro casas decimais para clareza).

Passo 5

Calcular a probabilidade pedida:
\mathbb{P}(3\le X\le 13)=F(13)-F(3)=1-0,4568\approx 0,5432.
Arredondando para três casas decimais (como nas alternativas), obtemos 0,543.

Passo 6

Interpretação final rápida: cerca de 54{,}3\% das crianças adotadas, segundo o modelo dado, foram adotadas com idade entre 3 e 13 anos. Força aí — essa conta é direta em prova: identificar o ramo certo do CDF em cada ponto e subtrair!

Resposta

(b) 0,543

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