(1 ponto) Estima-se que no Brasil, há cerca de 40 mil adultos interessados em adoção. A idade da criança ao ser adotada é uma variável aleatória com Função de Distribuição Acumulada
Segundo esse modelo, qual é a probabilidade de uma criança adotada, selecionada ao acaso, ter sido adotada com idade entre 3 e 13 anos?
a. 0.457
(b. 0.543
c. 0.250
d. 0.236
e. 0.516
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de uma criança adotada, escolhida ao acaso, ter sido adotada com idade entre 3\) e \(13\) anos. Informações relevantes fornecidas (peguei essas da função de distribuição acumulada do enunciado):
- A variável aleatória é a idade da criança ao ser adotada, com função de distribuição acumulada \(F(x)\) dada por
\[F(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\\ \dfrac{\sqrt{x}}{3,792}, & 0 \leq x<6 \\\\ 0,059\,x+0,292, & 6 \leq x \leq 12 \\\\ 1, & x>12\end{cases}
O intervalo que nos interessa é entre 3\] e \(13 anos (ou seja, calcular a probabilidade de X estar em [3,13] ou “entre 3 e 13”).
Passo 2
Lembrando a propriedade básica de função de distribuição acumulada (CDF): para qualquer a<b,
\mathbb{P}(a\le X\le b)=F(b)-F(a^-).
Para variáveis contínuas (ou quando F é contínua em a), isso equivale a
\mathbb{P}(a\le X\le b)=F(b)-F(a).
Aqui a função F é contínua nos pontos interiores aos trechos fornecidos; além disso, pontos isolados não afetam probabilidade em variáveis contínuas, portanto podemos usar a forma F(b)-F(a).
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: queremos \mathbb{P}(3\le X\le 13)=F(13)-F(3).
Agora escolhemos qual ramo da definição de F usar em cada ponto:
Para x=3 vale 0\le x<6, então pega-se o ramo \displaystyle F(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{3,792}. Logo
Arredondando para três casas decimais (como nas alternativas), obtemos 0,543.
Passo 6
Interpretação final rápida: cerca de 54{,}3\% das crianças adotadas, segundo o modelo dado, foram adotadas com idade entre 3 e 13 anos. Força aí — essa conta é direta em prova: identificar o ramo certo do CDF em cada ponto e subtrair!