Suponha que a proporção de alunos com nota superior à média em um determinado curso de uma universidade seja de 0.62 . Se uma amostra de 46 alunos for seleciònada de forma aleatória, qual a probabilidade de que a proporção de notas superiores à média seja menor que 0.61 ?
a. 0.913
b. 0.444
c. 0.484
d. 0.492
e. 0.026
a. 0.913
b. 0.444
c. 0.484
d. 0.492
e. 0.026
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- A proporção real (populacional) de alunos com nota superior à média é
. - O tamanho da amostra é
.
- A proporção real (populacional) de alunos com nota superior à média é
- Pergunta:
- Qual a probabilidade de que, numa amostra aleatória de tamanho
, a proporção amostral de alunos com nota superior à média seja menor que ? Ou seja, calcular .
- Qual a probabilidade de que, numa amostra aleatória de tamanho
Passo 2
Escolha do método e condições para usá-lo (explicação didática).
- Quando trabalhamos com proporções amostrais, a estatística de interesse é a proporção amostral
, que conta a fração de sucessos na amostra. - Para amostras aleatórias de tamanho moderado/grande, a distribuição de
é aproximada por uma distribuição normal com média e variância , desde que e sejam suficientemente grandes (regra prática: maiores que ). - Verificação das condições:
-
. -
.
Portanto a aproximação normal é adequada.
-
Passo 3
Fórmula da distribuição aproximada e definição do erro padrão (aula curta).
- Aproximação (teorema do limite central para proporções):
Onde: -
é a proporção observada na amostra; -
é a proporção populacional (a média de ); -
é a variância da proporção amostral; - o desvio padrão (erro padrão) é
.
-
- Vamos calcular o erro padrão com
e .
Passo 4
Cálculo do escore padrão (
-score) que transforma o problema em probabilidade de normal padrão.
- Queremos
. Transformando para a variável padrão: - Portanto
onde tem distribuição normal padrão .
Passo 5
Converter o
-score em probabilidade usando a tabela (ou função) da normal padrão.
- Pela simetria da normal padrão vale
para . Assim - Consultando uma tabela da normal padrão ou uma calculadora, encontra-se
Logo - Arredondando para três casas decimais, a probabilidade é aproximadamente
.
Passo 6
Interpretação e checagem final.
- Isso significa que, mesmo com a proporção real sendo
, há cerca de de chance de que, numa amostra de alunos, a proporção observada seja menor que . Esse valor não é muito pequeno porque a diferença entre e é pequena relativa ao erro padrão da amostra. - Entre as alternativas oferecidas, a que corresponde ao valor calculado é a letra (b).
Resposta
b.