Suponha que a proporção de alunos com nota superior à média em um determinado curso de uma universidade seja de 0.62 . Se uma amostra de 46 alunos for seleciònada de forma aleatória, qual a probabilidade de que a proporção de notas superiores à média seja menor que 0.61 ?
a. 0.913
b. 0.444
c. 0.484
d. 0.492
e. 0.026

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A proporção real (populacional) de alunos com nota superior à média é \,p=0,62.
    • O tamanho da amostra é \,n=46.
  • Pergunta:
    • Qual a probabilidade de que, numa amostra aleatória de tamanho \,n=46, a proporção amostral de alunos com nota superior à média seja menor que \,0,61? Ou seja, calcular \,P\big(\hat{p}<0,61\big).

Passo 2

Escolha do método e condições para usá-lo (explicação didática).
  • Quando trabalhamos com proporções amostrais, a estatística de interesse é a proporção amostral \,\hat{p}, que conta a fração de sucessos na amostra.
  • Para amostras aleatórias de tamanho moderado/grande, a distribuição de \,\hat{p} é aproximada por uma distribuição normal com média \,p e variância \dfrac{p(1-p)}{n}, desde que \,np e \,n(1-p) sejam suficientemente grandes (regra prática: maiores que 5).
  • Verificação das condições:
    • \,np = 46 \times 0,62 = 28,52 > 5.
    • \,n(1-p) = 46 \times 0,38 = 17,48 > 5.
      Portanto a aproximação normal é adequada.

Passo 3

Fórmula da distribuição aproximada e definição do erro padrão (aula curta).
  • Aproximação (teorema do limite central para proporções): \hat{p}\\ \overset{\cdot}{\sim}\\ \mathcal{N}\!\left(p,\\ \frac{p(1-p)}{n}\right).Onde:
    • \,\hat{p} é a proporção observada na amostra;
    • \,p é a proporção populacional (a média de \hat{p});
    • \dfrac{p(1-p)}{n} é a variância da proporção amostral;
    • o desvio padrão (erro padrão) é \displaystyle \text{SE}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
  • Vamos calcular o erro padrão com \,p=0,62 e \,n=46. p(1-p)=0,62\times0,38=0,2356.
\frac{p(1-p)}{n}=\frac{0,2356}{46}=0,00512173913\ldots
\text{SE}=\sqrt{0,00512173913\ldots}\approx0,07157.

Passo 4

Cálculo do escore padrão ( z-score) que transforma o problema em probabilidade de normal padrão.
  • Queremos \,P\big(\hat{p}<0,61\big). Transformando para a variável padrão: z=\frac{\hat{p}-p}{\text{SE}}=\frac{0,61-0,62}{0,07157}=\frac{-0,01}{0,07157}\approx-0,1397.
  • Portanto P\big(\hat{p}<0,61\big)=P\big(Z<-0,1397\big),onde Z tem distribuição normal padrão \mathcal{N}(0,1).

Passo 5

Converter o z-score em probabilidade usando a tabela (ou função) da normal padrão.
  • Pela simetria da normal padrão vale \,P(Z<-a)=1-P(Z\le a) para a>0. Assim P(Z<-0,1397)=1-P(Z\le 0,1397).
  • Consultando uma tabela da normal padrão ou uma calculadora, encontra-se P(Z\le 0,1397)\approx0,5555\ldotsLogo P(Z<-0,1397)\approx1-0,5555=0,4445\ldots
  • Arredondando para três casas decimais, a probabilidade é aproximadamente \,0,444.

Passo 6

Interpretação e checagem final.
  • Isso significa que, mesmo com a proporção real sendo 0,62, há cerca de 44{,}4\% de chance de que, numa amostra de 46 alunos, a proporção observada seja menor que 0,61. Esse valor não é muito pequeno porque a diferença entre 0,61 e 0,62 é pequena relativa ao erro padrão da amostra.
  • Entre as alternativas oferecidas, a que corresponde ao valor calculado é a letra (b).

Resposta

b. 0,444

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