Um pomar tem um rendimento médio de 36 caixas de maçãs/árvores se a densidade de árvores for 22 árvores/hectare. Para cada aumento de unidade na densidade de árvores, a produtividade decresce em 2 caixas/árvore. Quantas árvores devem ser plantadas a fim de maximizar a produção?
Passo 1
O enunciado trata de maximizar a produção total de maçãs por hectare em função da densidade de árvores. Temos rendimento médio de
caixas por árvore quando a densidade é
árvores/ha, e a cada aumento de uma árvore por hectare a produtividade cai
caixas/árvore. Vamos modelar a produtividade individual e depois a produção total como função de
, a densidade (árvores/ha), e então encontrar o máximo.
Passo 2
Como a produtividade por árvore decresce
caixas a cada árvore a mais, se
é a densidade em árvores/ha, então a produtividade por árvore
é
Simplificando,
Passo 3
A produção total por hectare
é o número de árvores vezes a produtividade de cada uma:
Note que isso é uma função quadrática que abre para baixo (
), logo tem um máximo em seu vértice.
Passo 4
Para encontrar o vértice de
usamos a fórmula do vértice
, onde
e
:
Alternativamente, derivando temos
e impondo
também dá
.
Resposta
Devem ser plantadas
árvores por hectare para maximizar a produção.