Um pomar tem um rendimento médio de 36 caixas de maçãs/árvores se a densidade de árvores for 22 árvores/hectare. Para cada aumento de unidade na densidade de árvores, a produtividade decresce em 2 caixas/árvore. Quantas árvores devem ser plantadas a fim de maximizar a produção?

Passo 1

O enunciado trata de maximizar a produção total de maçãs por hectare em função da densidade de árvores. Temos rendimento médio de ,36 caixas por árvore quando a densidade é ,22 árvores/ha, e a cada aumento de uma árvore por hectare a produtividade cai ,2 caixas/árvore. Vamos modelar a produtividade individual e depois a produção total como função de x, a densidade (árvores/ha), e então encontrar o máximo.

Passo 2

Como a produtividade por árvore decresce ,2 caixas a cada árvore a mais, se x é a densidade em árvores/ha, então a produtividade por árvore y(x) é
y(x)=36 - 2,(x-22)
Simplificando,
y(x)=36 -2x +44 = 80 -2x

Passo 3

A produção total por hectare P(x) é o número de árvores vezes a produtividade de cada uma:
P(x)=xcdot y(x)=x,(80 -2x)=80x -2x^2
Note que isso é uma função quadrática que abre para baixo ( a=-2<0), logo tem um máximo em seu vértice.

Passo 4

Para encontrar o vértice de
P(x) = -2x^2 +80x,
usamos a fórmula do vértice x^* = -tfracb2a, onde a=-2 e b=80:
x^* = -802cdot(-2) = 20
Alternativamente, derivando temos
P'(x)=80 -4x,
e impondo P'(x)=0 também dá x=20.

Resposta

Devem ser plantadas 20 árvores por hectare para maximizar a produção.

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