(1,0 ponto) Considere a função f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{-x}, & x<0, \\\\ 3-x, & 0 \leq x<3, \\\ (x-3)^{2}, & x>3 .\end{array}\right..
a) Verifique se f é contínua em x=0.
b) Verifique se f é contínua em x=3.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (vou listar tudo que o enunciado dá, sem resolver ainda).
A função é
f(x)=\begin{cases} \sqrt{-x}, & x<0,\\[4pt] 3-x, & 0\le x<3,\\[4pt] (x-3)^{2}, & x>3. \end{cases}
Perguntas:
a) Verificar se f é contínua em x=0.
b) Verificar se f é contínua em x=3.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para x<0 usamos \sqrt{-x}. Note que isso exige -x\ge 0, o que acontece quando x\le 0; aqui está definido estritamente para x<0.
  • Para 0\le x<3 usamos 3-x. Observe que essa definição inclui x=0 e vai até valores arbitrariamente próximos de 3, mas NÃO inclui x=3.
  • Para x>3 usamos (x-3)^{2}. Essa definição é válida estritamente para x>3, então também NÃO inclui x=3.
  • Para decidir se f é contínua num ponto a precisamos verificar limites laterais e o valor f(a) (se existir). Vou aplicar isso em separado para a=0 e a=3.]

Passo 2

Definição e estratégia (aulas rápidas e didáticas sobre continuidade e limites laterais).
Definição de continuidade num ponto a:
  • A função f é contínua em a se e somente se os três itens seguintes forem verdadeiros:
    1. f(a) existe (ou seja, a função está definida em a);
    2. \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) existe;
    3. \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Para funções definidas por partes, é prático usar limites laterais:
  • O limite \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) existe se e somente se os limites lateral esquerdo e direito existirem e forem iguais: \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
  • Então, para cada ponto pedido vou:
    1. Calcular \displaystyle\lim_{x\to a^-} f(x);
    2. Calcular \displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x);
    3. Verificar se f(a) está definido e se é igual ao limite comum (quando existir).
Pequena dica prática: expressões como polinômios, 3-x ou (x-3)^2, são contínuas onde estão definidas, então o limite ao aproximar é o mesmo que substituir x=a. Para \sqrt{\cdot}, se a entrada tende a um número não negativo, o valor da raiz tende ao valor da raiz do limite.

Passo 3

Análise em x=0: cálculo do limite lateral pela esquerda \displaystyle\lim_{x\to 0^-} f(x).
Para x<0 temos f(x)=\sqrt{-x}. Ao fazermos x\to 0^- temos -x\to 0^+. A função t\mapsto\sqrt{t} é contínua em t=0, logo podemos passar o limite para dentro da raiz. Portanto
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-}\sqrt{-x}=\sqrt{\lim_{x\to 0^-}(-x)}=\sqrt{0}=0.
Explicação intuitiva: quando você se aproxima de 0 por valores negativos, -x é um número pequeno e positivo, e a raiz vai a 0.

Passo 4

Análise em x=0: cálculo do limite lateral pela direita \displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) e valor f(0).
Para 0\le x<3 temos f(x)=3-x. Essa expressão é contínua onde está definida, então ao aproximar x de 0 pela direita:
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+}(3-x)=3-0=3.
O valor da função em x=0 é (porque a segunda peça inclui x=0):
f(0)=3-0=3.
Comparando limites laterais:
\lim_{x\to 0^-} f(x)=0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^+} f(x)=3.
Como os limites laterais são diferentes, o limite \lim_{x\to 0} f(x) não existe. Logo a condição 2 da definição de continuidade falha e, portanto, f NÃO é contínua em x=0.
Interpretação: isso é uma descontinuidade do tipo “salto” (jump), pois o valor à esquerda tende a 0 enquanto à direita tende a 3.

Passo 5

Análise em x=3: cálculo do limite lateral pela esquerda \displaystyle\lim_{x\to 3^-} f(x).
Para 0\le x<3 usamos f(x)=3-x. Aproximando x por valores menores que 3:
\lim_{x\to 3^-} f(x)=\lim_{x\to 3^-}(3-x)=3-3=0.
Como antes, sendo 3-x contínua, só substituímos x=3.

Passo 6

Análise em x=3: cálculo do limite lateral pela direita \displaystyle\lim_{x\to 3^+} f(x).
Para x>3 temos f(x)=(x-3)^{2}. Ao aproximar x por valores maiores que 3:
\lim_{x\to 3^+} f(x)=\lim_{x\to 3^+}(x-3)^{2}=(3-3)^{2}=0.
Assim, os dois limites laterais são iguais:
\lim_{x\to 3^-} f(x)=0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 3^+} f(x)=0,
portanto \lim_{x\to 3} f(x)=0.

Passo 7

Verificação do valor f(3) e conclusão sobre continuidade em x=3.
Olhemos a definição por partes: a segunda peça vale para 0\le x<3 (não inclui 3) e a terceira peça vale para x>3 (também não inclui 3). Conclusão: f(3) NÃO está definida pela função dada. Ou seja, f(3) não existe.
Pelas condições de continuidade, é necessário que f(3) exista e seja igual ao limite. Aqui o limite existe e é 0, mas f(3) não está definido. Portanto f NÃO é contínua em x=3.
Observação útil (didática): se alguém definisse f(3)=0, então a nova função (com esse ponto preenchido) seria contínua em x=3. Isso é chamado de descontinuidade removível — o limite existe, mas falta definir o ponto.

Resposta

a) f não é contínua em x=0.
b) f não é contínua em x=3.

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