Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O problema pede o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- Temos exponenciais com bases diferentes:
, e . - A variável
tende para . - Não há outras condições ocultas: é só calcular esse limite.
Passo 2
Vamos entender o comportamento das potências exponenciais quando
. Conceitos importantes:
- Se
, então quando . - Se
, então quando .
Aplicando isso aos termos que aparecem: -
tem base , então . -
tem base em , então . -
tem base , então .
Com isso o numerador tende a
e o denominador tende a
. A forma
é indeterminada, então precisamos manipular a expressão para ver qual termo domina no quociente.
Passo 3
Uma técnica padrão é dividir numerador e denominador por uma potência que domine os termos (aqui escolhemos
, que aparece no denominador e cresce rápido). Dividindo por
obtemos:
Expliquei cada passo da divisão:
-
. -
. -
vem de dividir o do denominador por . -
.
Passo 4
Agora analisamos os limites das partes da expressão obtida quando
.
- Como
, temos . Para vale quando . Logo
- Também
tem base em , então
- E
.
Portanto, termo a termo,
Passo 5
Com os limites parciais prontos, passamos ao limite do quociente. Como o numerador tende a
e o denominador tende a
, o limite da fração é
Esta conclusão é rigorosa porque todos os termos envolvidos têm limites finitos conhecidos e o denominador tende a um número não nulo (
), permitindo tomar o limite do quociente.
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