Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}-3^{-2 x}}{1-3^{x}}

Passo 1

O problema pede o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}-3^{-2x}}{1-3^{x}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • Temos exponenciais com bases diferentes: e^{x}, 3^{-2x} e 3^{x}.
  • A variável x tende para +\infty.
  • Não há outras condições ocultas: é só calcular esse limite.

Passo 2

Vamos entender o comportamento das potências exponenciais quando x\to\infty. Conceitos importantes:
  • Se a>1, então a^{x}\to\infty quando x\to\infty.
  • Se 0<a<1, então a^{x}\to0 quando x\to\infty.
    Aplicando isso aos termos que aparecem:
  • \;3^{x} tem base 3>1, então \;3^{x}\to\infty.
  • \;3^{-2x}=(3^{-2})^{x}=(1/9)^{x} tem base 1/9 em (0,1), então \;3^{-2x}\to0.
  • \;e^{x} tem base e>1, então \;e^{x}\to\infty.
Com isso o numerador tende a \infty-0=\infty e o denominador tende a 1-\infty=-\infty. A forma \infty/(-\infty) é indeterminada, então precisamos manipular a expressão para ver qual termo domina no quociente.

Passo 3

Uma técnica padrão é dividir numerador e denominador por uma potência que domine os termos (aqui escolhemos 3^{x}, que aparece no denominador e cresce rápido). Dividindo por 3^{x} obtemos:
\frac{e^{x}-3^{-2x}}{1-3^{x}} =\frac{\dfrac{e^{x}}{3^{x}}-\dfrac{3^{-2x}}{3^{x}}}{\dfrac{1}{3^{x}}-\dfrac{3^{x}}{3^{x}}} =\frac{\left(\dfrac{e}{3}\right)^{x}-3^{-3x}}{\dfrac{1}{3^{x}}-1}.
Expliquei cada passo da divisão:
  • \dfrac{e^{x}}{3^{x}}=\left(\dfrac{e}{3}\right)^{x}.
  • \dfrac{3^{-2x}}{3^{x}}=3^{-2x-x}=3^{-3x}.
  • \dfrac{1}{3^{x}} vem de dividir o 1 do denominador por 3^{x}.
  • \dfrac{3^{x}}{3^{x}}=1.

Passo 4

Agora analisamos os limites das partes da expressão obtida quando x\to\infty.
  • Como e<3, temos \dfrac{e}{3}\in(0,1). Para a\in(0,1) vale a^{x}\to0 quando x\to\infty. Logo
\left(\dfrac{e}{3}\right)^{x}\to0.
  • Também 3^{-3x}=(1/27)^{x} tem base em (0,1), então
3^{-3x}\to0.
  • E \dfrac{1}{3^{x}}\to0.
Portanto, termo a termo,
\left(\dfrac{e}{3}\right)^{x}-3^{-3x}\to 0-0=0 \quad\text{e}\quad \dfrac{1}{3^{x}}-1\to 0-1=-1.

Passo 5

Com os limites parciais prontos, passamos ao limite do quociente. Como o numerador tende a \;0 e o denominador tende a -1, o limite da fração é
\frac{0}{-1}=0.
Esta conclusão é rigorosa porque todos os termos envolvidos têm limites finitos conhecidos e o denominador tende a um número não nulo ( -1), permitindo tomar o limite do quociente.

Resposta

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