Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+3 x)}{2 x}

Passo 1

O problema pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+3x)}{2x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é \ln(1+3x).
  • O denominador é 2x.
  • Ao observar diretamente, quando x\to 0 temos \ln(1+3x)\to \ln(1)=0 e 2x\to 0, ou seja, a expressão tem a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Vamos usar um limite padrão muito útil e básico que você deve decorar e entender bem:
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Por que isso é verdade? Posso explicar de duas maneiras curtinhas e intuitivas:
  • Pela derivada: se f(t)=\ln(1+t), então f'(t)=\dfrac{1}{1+t} e, em particular, f'(0)=1. A definição de derivada em 0 é exatamente \lim_{t\to0}\dfrac{f(t)-f(0)}{t}, ou seja, \lim_{t\to0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}=1.
  • Pela série de Taylor (expansão): \ln(1+t)=t-\dfrac{t^2}{2}+\cdots. Dividindo por t e fazendo t\to0 sobra 1.
Essa é uma ferramenta direta para limites que envolvem \ln(1+\cdot).

Passo 3

Façamos uma manipulação algébrica para relacionar o limite dado com o limite padrão. Observe:
\frac{\ln(1+3x)}{2x} = \frac{\ln(1+3x)}{3x}\cdot\frac{3x}{2x} = \frac{\ln(1+3x)}{3x}\cdot\frac{3}{2}.
Aqui apenas separamos em um produto: primeiro fator \dfrac{\ln(1+3x)}{3x} e segundo fator \dfrac{3}{2}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando x\to0. Note que se definirmos t=3x, então t\to0 quando x\to0. Pelo limite padrão do Passo 2,
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+3x)}{3x}=1.
Como \dfrac{3}{2} é constante, podemos tirar o produto:
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+3x)}{2x} = \left(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+3x)}{3x}\right)\cdot\frac{3}{2} = 1\cdot\frac{3}{2}.

Passo 5

Como checagem alternativa (só para você ver outra técnica): usando a regra de L’Hôpital — apropriada porque tínhamos 0/0 — derivamos numerador e denominador em relação a x:
  • \dfrac{d}{dx}\ln(1+3x)=\dfrac{3}{1+3x}.
  • \dfrac{d}{dx}(2x)=2.
    Aplicando L’Hôpital,
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+3x)}{2x} = \lim_{x\to0}\frac{3/(1+3x)}{2} = \frac{3}{2}\cdot\lim_{x\to0}\frac{1}{1+3x} = \frac{3}{2}\cdot 1.
(Aqui eu mostrei o procedimento, sem repetir a forma simplificada final na etapa.)

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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