Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O problema pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Ao observar diretamente, quando
temos e , ou seja, a expressão tem a forma indeterminada .
Passo 2
Vamos usar um limite padrão muito útil e básico que você deve decorar e entender bem:
Por que isso é verdade? Posso explicar de duas maneiras curtinhas e intuitivas:
- Pela derivada: se
, então e, em particular, . A definição de derivada em é exatamente , ou seja, . - Pela série de Taylor (expansão):
. Dividindo por e fazendo sobra .
Essa é uma ferramenta direta para limites que envolvem
.
Passo 3
Façamos uma manipulação algébrica para relacionar o limite dado com o limite padrão. Observe:
Aqui apenas separamos em um produto: primeiro fator
e segundo fator
.
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
. Note que se definirmos
, então
quando
. Pelo limite padrão do Passo 2,
Como
é constante, podemos tirar o produto:
Passo 5
Como checagem alternativa (só para você ver outra técnica): usando a regra de L’Hôpital — apropriada porque tínhamos
— derivamos numerador e denominador em relação a
:
-
. -
.
Aplicando L’Hôpital,
(Aqui eu mostrei o procedimento, sem repetir a forma simplificada final na etapa.)