(1,5 ponto ) Considere uma mistura de água e etanol, no qual x_{e t}=0,4 e \bar{V}_{m, e t}=57,5 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1}. Esta solução apresenta \rho=0,8494 \mathrm{gcm}^{-3}. Calcule \bar{V}_{m} da água.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume molar parcial da água na mistura. As informações que o enunciado fornece são:
x_{et} = 0,4
\bar{V}_{m,et} = 57,5\\ \mathrm{cm^{3}\,mol^{-1}}
\rho = 0,8494\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}
Nada mais foi dado explicitamente no enunciado. A incógnita é \bar{V}_{m,\text{água}}á.

Passo 2

Conceito e relação que vamos usar (aulas rápidas, tipo “cola” para a prova):
O volume molar total médio da solução (volume por mol de mistura) é a soma ponderada dos volumes molares parciais dos componentes, com as frações molares como pesos. Em fórmula:
\bar{V}_m = x_{et}\,\bar{V}_{m,et} + x_{\text{água}}\,\bar{V}_{m,\text{água}}áá
onde
  • \bar{V}_m é o volume molar médio da solução (cm ^3 por mol de mistura);
  • x_{et} e x_{\text{água}}á são as frações molares do etanol e da água, respectivamente;
  • \bar{V}_{m,et} e \bar{V}_{m,\text{água}}á são os volumes molares parciais dos componentes (cm ^3 mol ^{-1}).
Além disso, o volume molar médio da solução pode ser obtido dividindo a massa molar média da mistura pela densidade:
\bar{V}_m = \frac{\overline{M}}{\rho}
onde \overline{M} é a massa molar média da mistura (g mol ^{-1}) e \rho é a densidade (g cm ^{-3}). Essas duas fórmulas permitirão resolver para \bar{V}_{m,\text{água}}á.

Passo 3

Calcular a fração molar da água:
x_{\text{água}} = 1 - x_{et} = 1 - 0,4 = 0,6.á

Passo 4

Precisamos da massa molar média da mistura \overline{M}. Para isso usamos as massas molares padrão:
M_{et} = 46,07\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}\quad(\text{etanol})
M_{\text{água}} = 18,015\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}\quad(\text{água})áá
Agora a massa molar média:
\overline{M} = x_{et}M_{et} + x_{\text{água}}M_{\text{água}}áá
\overline{M} = 0,4\times 46,07 + 0,6\times 18,015
Calcule passo a passo:
0,4\times 46,07 = 18,428
0,6\times 18,015 = 10,809
\overline{M} = 18,428 + 10,809 = 29,237\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}

Passo 5

Calcular o volume molar médio da solução usando a densidade:
\bar{V}_m = \frac{\overline{M}}{\rho} = \frac{29,237\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}}{0,8494\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}}
Efetuando a divisão:
\bar{V}_m \approx 34,424\\ \mathrm{cm^{3}\,mol^{-1}}
(guardei três casas decimais para manter coerência com os dados).

Passo 6

Agora use a relação linear entre volumes molares parciais e o volume molar médio para isolar \bar{V}_{m,\text{água}}á:
\bar{V}_m = x_{et}\,\bar{V}_{m,et} + x_{\text{água}}\,\bar{V}_{m,\text{água}}áá
\Rightarrow \bar{V}_{m,\text{água}} = \frac{\bar{V}_m - x_{et}\,\bar{V}_{m,et}}{x_{\text{água}}}áá
Substituindo os números:
\bar{V}_{m,\text{água}} = \frac{34,424 - 0,4\times 57,5}{0,6}á
Calcule o numerador:
0,4\times 57,5 = 23,0
34,424 - 23,0 = 11,424
Agora divida:
\bar{V}_{m,\text{água}} = \frac{11,424}{0,6} = 19,04\\ \mathrm{cm^{3}\,mol^{-1}}á

Resposta

\bar{V}_{m,\text{água}} = 19,04\\ \mathrm{cm^{3}\,mol^{-1}}á

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