O volume de \mathrm{O}_{2} a 0^{\circ} \mathrm{C} e 101 kPa adsorvido na superfície de 1 g de sílica a 0^{\circ} \mathrm{C} foi de 0,284 \mathrm{cm}^{3} a 142,4 Torr e 1,43 \mathrm{~cm}^{3} a 760 Torr. Qual o valor do volume da monocamada? Calcule a constante de equilíbrio do processo de adsorção/dessorção. Estime o valor de pressão necessário para atingir 90 \% de recobrimento da superfície a 0^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Qual o valor do volume da monocamada (volume de uma monocamada de \mathrm{O}_2 adsorvida por 1 g de sílica).
  2. Calcular a constante de equilíbrio do processo de adsorção/dessorção.
  3. Estimar a pressão necessária para atingir 90\% de recobrimento da superfície a 0^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos (todos para 1 g de sílica e à mesma temperatura 0^\circ\mathrm{C}):
  • Volume adsorvido \,0,284\\ \mathrm{cm}^3 à pressão \,142{,}4\\ \mathrm{Torr}.
  • Volume adsorvido \,1{,}43\\ \mathrm{cm}^3 à pressão \,760\\ \mathrm{Torr}.
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Vamos escolher um modelo simples e muito usado para adsorção: a isoterma de Langmuir. Vou explicar o que ela diz e por que é apropriada aqui (temos poucos dados e queremos um volume de monocamada).
A hipótese de Langmuir assume:
  • A adsorção se dá em sítios equivalentes na superfície e cada sítio acomoda no máximo uma molécula (monocamada).
  • Não há interação entre moléculas adsorvidas.
  • Em equilíbrio, a razão entre as velocidades de adsorção e dessorção define uma constante de equilíbrio.
A forma matemática da isoterma de Langmuir para a fração de cobertura \theta (fração de sítios ocupados pela adsorção) é
\theta = \frac{K P}{1 + K P},
onde:
  • \theta é a fração de cobertura (adimensional, entre 0 e 1),
  • K é a constante de equilíbrio da adsorção (unidade: 1/pressão),
  • P é a pressão do gás (mesma unidade que será usada para K).
Se chamarmos V o volume de gás adsorvido experimentalmente e V_m o volume correspondente a uma monocamada completa (isto é, volume quando \theta=1), então V é proporcional a \theta:
V = V_m \theta = V_m \frac{K P}{1 + K P}.
Aqui:
  • V é o volume adsorvido medido (a 0^\circ\mathrm{C}, nas condições do enunciado),
  • V_m é o volume de uma monocamada (o que queremos achar),
  • K e P como acima.
Portanto usaremos a equação
V = V_m \frac{K P}{1 + K P}.

Passo 3

Escrevo as duas equações fornecidas pelos dois pontos experimentais (usando P em Torr, pois os dados de pressão estão em Torr). Para o ponto 1 ( P_1 = 142{,}4\\ \mathrm{Torr}, V_1 = 0{,}284\\ \mathrm{cm}^3):
V_1 = V_m \frac{K P_1}{1 + K P_1}.
Para o ponto 2 ( P_2 = 760\\ \mathrm{Torr}, V_2 = 1{,}43\\ \mathrm{cm}^3):
V_2 = V_m \frac{K P_2}{1 + K P_2}.
Uma forma prática de manipular essas equações é reescrever cada uma isolando K P:
\frac{V_i}{V_m - V_i} = K P_i\qquad (i=1,2),
porque \dfrac{V_i}{V_m - V_i} = \dfrac{V_m \frac{K P_i}{1+K P_i}}{V_m - V_m \frac{K P_i}{1+K P_i}} = \dfrac{K P_i}{1} = K P_i.
Assim temos duas expressões para K:
K = \frac{V_1}{(V_m - V_1)P_1} = \frac{V_2}{(V_m - V_2)P_2}.

Passo 4

Igualando as duas expressões de K e resolvendo para V_m:
\frac{V_1}{(V_m - V_1)P_1} = \frac{V_2}{(V_m - V_2)P_2}.
Multiplicando em cruz:
V_1 P_2 (V_m - V_2) = V_2 P_1 (V_m - V_1).
Expandindo:
V_1 P_2 V_m - V_1 P_2 V_2 = V_2 P_1 V_m - V_2 P_1 V_1.
Agrupando os termos com V_m:
V_m (V_1 P_2 - V_2 P_1) = V_1 V_2 (P_2 - P_1).
Logo:
V_m = \frac{V_1 V_2 (P_2 - P_1)}{V_1 P_2 - V_2 P_1}.
Agora substituímos os números: V_1=0{,}284\\ \mathrm{cm}^3, V_2=1{,}43\\ \mathrm{cm}^3, P_1=142{,}4\\ \mathrm{Torr}, P_2=760\\ \mathrm{Torr}.

Passo 5

Cálculo numérico de V_m:
Calcule o numerador:
V_1 V_2 (P_2 - P_1) = 0{,}284 \times 1{,}43 \times (760 - 142{,}4).
Primeiro 0{,}284\times 1{,}43 = 0{,}40612.
Depois 760 - 142{,}4 = 617{,}6.
Logo numerador \approx 0{,}40612 \times 617{,}6 \approx 250{,}82.
Calcule o denominador:
V_1 P_2 - V_2 P_1 = 0{,}284\times 760 - 1{,}43\times 142{,}4.
Calculando: 0{,}284\times 760 = 215{,}84. E 1{,}43\times 142{,}4 = 203{,}632.
Denominador =215{,}84 - 203{,}632 = 12{,}208.
Portanto
V_m \approx \frac{250{,}82}{12{,}208} \approx 20{,}54\\ \mathrm{cm}^3.
Interpretando: o volume de uma monocamada de \mathrm{O}_2 por grama de sílica, nas condições dadas, é \approx 20{,}54\\ \mathrm{cm}^3 (volume de gás medido a 0^\circ\mathrm{C} e nas pressões usadas).

Passo 6

Agora calculamos a constante de equilíbrio K. Usamos a fórmula
K = \frac{V}{(V_m - V)P}
e um dos pontos experimentais (os dois devem dar o mesmo K dentro de erros). Usarei o ponto 2 ( V_2, P_2).
Calcule V_m - V_2 = 20{,}54 - 1{,}43 = 19{,}11\\ \mathrm{cm}^3.
Então
K = \frac{1{,}43}{19{,}11\times 760} .
Compute o numerador da fração interna: 1{,}43/19{,}11 \approx 0{,}07484.
Dividindo por 760:
K \approx 0{,}07484 / 760 \approx 9{,}85\times 10^{-5}\\ \mathrm{Torr}^{-1}.
Para conveniência, converto também para \mathrm{kPa}^{-1}. Como 1\\ \mathrm{Torr} \approx 0{,}133322\\ \mathrm{kPa}, segue 1\\ \mathrm{Torr}^{-1} \approx 7{,}50062\\ \mathrm{kPa}^{-1}. Assim
K \approx 9{,}85\times 10^{-5}\\ \mathrm{Torr}^{-1} \approx 9{,}85\times 10^{-5}\times 7{,}50062 \approx 7{,}39\times 10^{-4}\\ \mathrm{kPa}^{-1}.

Passo 7

Finalmente estimamos a pressão necessária para atingir 90\% de recobrimento. Queremos \theta = 0{,}90. A relação de Langmuir é
\theta = \frac{K P}{1 + K P}.
Isolando P:
\frac{\theta}{1-\theta} = K P \quad\Longrightarrow\quad P = \frac{\theta}{(1-\theta)K}.
Para \theta=0{,}90:
P_{90} = \frac{0{,}90}{0{,}10\,K} = \frac{9}{K}.
Usando K \approx 9{,}85\times 10^{-5}\\ \mathrm{Torr}^{-1}:
P_{90} \approx \frac{9}{9{,}85\times 10^{-5}} \approx 9{1}456\\ \mathrm{Torr}.
Converto para atmosferas (1 atm \approx 760\\ \mathrm{Torr}):
P_{90} \approx \frac{91{,}456}{760} \approx 120{,}3\\ \text{atm}.
Em kPa (usando 1\\ \mathrm{atm}\approx 101{,}325\\ \mathrm{kPa}) isso dá aproximadamente P_{90}\approx 120{,}3\times 101{,}325 \approx 12{,}180\\ \mathrm{kPa} (aprox).
Conclusão física rápida: a pressão necessária para 90% de cobertura é enorme (centenas de atm), o que indica que, nesta superfície/temperatura, a afinidade do \mathrm{O}_2 é baixa (pequeno K). Isso é consistente com K pequeno.

Resposta

V_m \approx 20{,}54\\ \mathrm{cm}^3\\ \text{(por 1 g de sílica, a }0^\circ\mathrm{C})í
K \approx 9{,}85\times 10^{-5}\\ \mathrm{Torr}^{-1}\\ (\approx 7{,}39\times 10^{-4}\\ \mathrm{kPa}^{-1})
P_{90\%} \approx 9{1}456\\ \mathrm{Torr}\\ (\approx 120{,}3\\ \mathrm{atm}\approx 12{,}2\times 10^{3}\\ \mathrm{kPa})

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