Suponha que o ozônio adsorva em uma superfície, de acordo com o modelo de Langmuir. Depermine a expressão para a fração de recobrimento da superfície ( \theta ) em função da pressão, sabendo que a adsorção ocorre de forma dissociativa ( \mathrm{O}_{3}+3 \mathrm{~s} \leftrightarrow 3 \mathrm{O}-s).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a expressão da fração de recobrimento da superfície, \theta, em função da pressão do ozônio, sabendo que a adsorção é dissociativa segundo a reação
\mathrm{O}_3 + 3\,\mathrm{s} \rightleftharpoons 3\,\mathrm{O\text{-}s}.
Informações relevantes que foram dadas:
  • A reação de equilíbrio consome 3 sítios vazios \mathrm{s} por cada molécula de \mathrm{O}_3 adsorvida e gera 3 espécies adsorvidas \mathrm{O\text{-}s}.
  • Queremos \theta em função da pressão (vou chamar a pressão de \mathrm{O}_3 de P).
  • Não foi dada outra informação numérica; devemos obter uma expressão geral (em termos de P e de uma constante de equilíbrio).

Passo 2

Definimos variáveis e hipóteses (essas são padrão no modelo de Langmuir e precisamos explicá-las bem):
  • \theta é a fração de sítios ocupados por átomos \mathrm{O} (ou seja, fração de sítios ocupados; 0\le\theta\le1).
  • A fração de sítios vazios é 1-\theta.
  • A pressão parcial do ozônio na fase gasosa é P.
  • Em equilíbrio químico, a constante de equilíbrio K para a reação escrita pode ser escrita em termos das atividades das espécies: produtos sobre reagentes. Para superfícies simples usamos como aproximação a atividade dos sítios ocupados proporcional a \theta e a dos sítios vazios proporcional a 1-\theta. Para o gás usamos a pressão P (atividade \propto P). Essa é a aproximação usual de Langmuir (sitios idênticos, sem interação lateral).

Passo 3

Escrevemos a expressão de equilíbrio usando atividades. Para a reação
\mathrm{O}_3 + 3\,\mathrm{s} \rightleftharpoons 3\,\mathrm{O\text{-}s}
a constante de equilíbrio (escrita de forma operacional) é
K=\frac{a_{\mathrm{O\text{-}s}}^{3}}{a_{\mathrm{O}_3}\,a_{\mathrm{s}}^{3}}.
Explicando: aparecem ao numerador as atividades dos produtos elevadas às suas estequiometrias ( 3 vezes a atividade de \mathrm{O\text{-}s}), e no denominador a atividade do reagente gasoso \mathrm{O}_3 e a atividade dos 3 sítios vazios.

Passo 4

Substituímos as atividades pelas aproximações do modelo:
  • atividade de \mathrm{O\text{-}s} \approx \theta,
  • atividade do sítio vazio \mathrm{s} \approx 1-\theta,
  • atividade de \mathrm{O}_3 \approx P.
Assim
K=\frac{\theta^{3}}{P\,(1-\theta)^{3}}.
Isso é uma equação algébrica que relaciona \theta, P e K.

Passo 5

Agora resolvemos para \theta em função de P. Começamos isolando a potência cúbica:
\theta^{3}=K\,P\,(1-\theta)^{3}.
Tomamos a raiz cúbica em ambos os lados (raiz cúbica é função monótona, então não há ambiguidade):
\theta=(K\,P)^{1/3}(1-\theta).
Para simplificar a escrita, definimos
\alpha=(K\,P)^{1/3},
então a equação vira
\theta=\alpha(1-\theta).

Passo 6

Resolvemos a equação linear em \theta:
\theta=\alpha-\alpha\theta
\theta+\alpha\theta=\alpha
\theta(1+\alpha)=\alpha
\theta=\frac{\alpha}{1+\alpha}.
Voltando à definição de \alpha,
\theta=\frac{(K\,P)^{1/3}}{1+(K\,P)^{1/3}}.
Comentário qualitativo rápido (útil na prova): se K\,P é muito pequeno então \theta\approx (K\,P)^{1/3} (baixa cobertura); se K\,P é muito grande então \theta\to 1 (sítios praticamente todos ocupados).

Resposta

\theta=\dfrac{(K\,P)^{1/3}}{1+(K\,P)^{1/3}}

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