[ 1,5 ponto] Considere um problema de sequenciamento da produção com 5 tarefas em um ambiente produtivo com 3 máquinas em paralelo. Cada tarefa precisa ser processada por uma única máquina. Quantas programaçōes diferentes são possiveis?

Passo 1

O enunciado pede o número de sequenciamentos de 5 tarefas em 3 máquinas paralelas, sabendo que cada tarefa vai para exatamente uma máquina. O conteúdo aqui é contar maneiras de
(a) distribuir as tarefas entre as máquinas e
(b) ordenar as tarefas em cada máquina.

Passo 2

Se numa distribuição a máquina i recebe ni tarefas (com n1+n2+n3=5), então há
ni!
maneiras de ordenar essas ni tarefas na máquina i. Como as máquinas são independentes, para essa distribuição particular o número de ordenações é
prodi=1^3 ni! ,

Passo 3

O número de formas de escolher exatamente (n1,n2,n3) tarefas para as máquinas, com n1+n2+n3=5, vem do coeficiente multinomial
5!n1!,n2!,n3!,
Portanto, somando sobre todas as tripletas (n1,n2,n3), o total de programações é
sumn1+n2+n3=5 5!n1!,n2!,n3!;l(n1!,n2!,n3!r)

Passo 4

Dentro da soma cada termo simplifica-se para
5!n1!,n2!,n3!;n1!,n2!,n3! ;=;5!
O número de termos na soma é o número de soluções não-negativas de n1+n2+n3=5, dado por
binom5+3-13-1 ;=;binom72 ;=;21

Passo 5

Logo o total de programações possíveis é
21 times 5! ;=;21 times 120 ;=;2520

Resposta

2520

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