[2,5 pontos] Ao inspecionar lotes de mercadorias que chegam, a seguinte regra de inspeçāo é adotada com cada lote que contém 20 unidades. Uma amostra aleatória de 4 unidades é selecionada. Se nāo há mais de um item defeituoso, o lote é aceito. Caso contrário, o lote é devolvido ao vendedor.
a) Se a fraçāo de defeitos no lote original é 0,01, determine a probabilidade de aceitação de um lote selecionado aleatoriamente.
b) Se a fração de defeitos no lote original é p, determine a probabilidade de aceitação de um lote em função de p.

Passo 1

O enunciado diz que cada lote tem 20 unidades e escolhemos aleatoriamente 4 para inspeção sem reposição. Aceitamos o lote se houver no máximo 1 item defeituoso na amostra. O conteúdo é distribuição binomial (aproximação razoável para defeito com probabilidade p em cada unidade) e queremos calcular
P(aceitar)=P(X<=1),
onde X é o número de defeituosos na amostra.

Passo 2

Modelamos X como
Xsim Binomial(n=4,;p),
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P(aceitar)=P(X=0)+P(X=1) =(1-p)^4 + binom41p,(1-p)^3

Passo 3

Para p=0,01, calculemos
P(X=0)=(1-0,01)^4=0,99^4,
P(X=1)=4cdot0,01cdot0,99^3
Numericamente,
0,99^4approx0,960596, 4cdot0,01cdot0,99^3approx0,038812,
P(aceitar)approx0,960596+0,038812=0,999408approx0,9994

Passo 4

Em função de p, a probabilidade de aceitação é
P(aceitar;p) =(1-p)^4 + 4,p,(1-p)^3

Resposta

(a) P(aceitar)approx0,9994.
(b) P(aceitar;p)=(1-p)^4 + 4,p,(1-p)^3

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