Exercício 4. Resolva o problema de Dirichlet no exterior do disco:
Passo 1
O problema pede solução do Laplace em coordenadas polares no exterior do disco de raio 1, ou seja
com as condições de contorno
e
u limitado quando
rtoinfty . Vamos usar separação de variáveis via série de Fourier em
theta .
Passo 2
A forma geral de uma solução harmônica limitada em
No contorno
definimos
e impomos
Os coeficientes .
Passo 3
Calculamos os coeficientes:
Para
n>=1 :
pois
integral0^picos(ntheta),dtheta+integralpi^2picos(ntheta),dtheta=0 .
Logo
Bn=0 se
n é par, e para
n=2k+1 vale
Passo 4
Substituindo em
u(r,theta) obtemos
Essa série converge para a solução harmônica exterior limitada que satisfaz as condições de contorno.