Exercício 4. Resolva o problema de Dirichlet no exterior do disco:
l ur r+1r ur+1r^2 utheta theta=0, (r>1) u=U1, se r=1 e 0<theta<pi u=U2, se r=1 e pi<theta<2 pi |u| <= M para algum M (isto é, u é limitada) éé

Passo 1

O problema pede solução do Laplace em coordenadas polares no exterior do disco de raio 1, ou seja
urr+1rur+1r^2uthetatheta=0, r>1,
com as condições de contorno
u(1,theta)= U1,&0<theta<pi, U2,&pi<theta<2pi,
e u limitado quando rtoinfty. Vamos usar separação de variáveis via série de Fourier em theta.

Passo 2

A forma geral de uma solução harmônica limitada em
No contorno definimos
e impomos
Os coeficientes .

Passo 3

Calculamos os coeficientes:
a0 =12piintegral0^2pif(theta),dtheta =U1+U22
Para n>=1:
An =1piintegral0^2pif(theta)cos(ntheta),dtheta =0,
pois integral0^picos(ntheta),dtheta+integralpi^2picos(ntheta),dtheta=0.
Bn =1piintegral0^2pif(theta)sin(ntheta),dtheta =U1-U2pi nl(1-(-1)^nr)
Logo Bn=0 se n é par, e para n=2k+1 vale
B2k+1 =2,(U1-U2)pi,(2k+1)

Passo 4

Substituindo em u(r,theta) obtemos
u(r,theta) =U1+U22 +sumk=0^infty 2,(U1-U2)pi,(2k+1) sinl((2k+1)thetar)r^2k+1
Essa série converge para a solução harmônica exterior limitada que satisfaz as condições de contorno.

Resposta

u(r,theta) =U1+U22 +2,(U1-U2)pi sumk=0^infty sinl((2k+1)thetar)(2k+1),r^2k+1

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