(1 ponto) Se a corda é puxada na direção do motor M com uma velocidade escalar v_{M}=\left(7 t^{3 / 4}\right) \mathrm{m} / \mathrm{s}, onde t é dado em segundos, determine a velocidade escalar do cilindro A quando t=2 \mathrm{~s}. (Equivalente ao Problema 12.201 p. 74)

Passo 1

O enunciado fornece claramente a velocidade escalar do motor M:
v_{M}(t)=7\,t^{3/4}\\ \text{m/s},
com t em segundos, e pede a velocidade escalar do cilindro A quando t=2\\ \text{s}.
Informações que faltam e que são necessárias para uma resposta numérica única:
  • Não foi enviada a figura do sistema (como a corda passa, quantas vezes envolve o cilindro A, se há polias móveis, pontos de fixação, etc.).
  • Não está especificada a relação geométrica/constraint entre o deslocamento/velocidade de M e de A (por exemplo, se a corda dá uma volta ao redor de A com duas seções móveis ou se está presa diretamente a A, etc.).
Sem essa figura ou sem a relação geométrica entre as coordenadas de M e A, NÃO há como determinar unicamente v_A. É preciso saber como a corda se conecta entre M e A para escrever a equação de comprimento da corda.

Passo 2

Método geral (aula rapidinha sobre como resolver esse tipo de problema na prova):
  1. Modelo da ideia: num sistema com corda inextensível o comprimento total da corda L é constante. Esse comprimento é soma de vários trechos que dependem das posições (coordenadas) dos corpos envolvidos, por exemplo x_M e x_A. Escreve-se
L = f(x_M,x_A,\ldots)+\text{constante}.
  1. Derivada temporal (obter relação entre velocidades): como L é constante, dL/dt=0. Diferenciando a expressão de L obtemos uma relação linear entre as velocidades:
\frac{\partial f}{\partial x_M}\,v_M+\frac{\partial f}{\partial x_A}\,v_A+\cdots=0,
onde v_M=\dfrac{dx_M}{dt} e v_A=\dfrac{dx_A}{dt}. Essa equação dá a relação entre v_M e v_A (e possivelmente outras velocidades).
  1. Interpretação física e sinal: escolha um sentido positivo para cada coordenada e respeite os sinais no momento de diferenciar. O sinal de v_A pode ser positivo ou negativo conforme convenção.
  2. Exemplo didático (caso comum — NÃO estou inventando ser o problema seu, é só para ensinar como aplicar):
  • Suponha um polia móvel presa ao cilindro A que tem duas seções da corda verticais anexadas à polia e a outra extremidade puxada pelo motor M. Nesse caso o comprimento contém um termo aproximadamente x_M+2x_A (cada deslocamento de A altera duas seções da corda). Diferenciando:
v_M+2v_A=0 \quad\Rightarrow\quad v_A=-\tfrac{1}{2}v_M.
Isto significa que, se o motor puxa para baixo com velocidade v_M, o cilindro A sobe com velocidade \tfrac{1}{2}v_M (sinais dependem da convenção). Esse é um caso clássico: polia móvel dá fator 1/2.
  • Outro caso simples: se a corda está ligada diretamente a A sem multiplicação de trechos, então frequentemente
v_A=\pm v_M,
dependendo do sentido.
Resumo: para resolver qualquer situação do tipo, escrever L, diferenciar, isolar v_A.

Passo 3

Calcular primeiro a velocidade do motor no instante pedido (isso é dado pelo enunciado e pode ser feito sem a figura):
v_M(2)=7\cdot 2^{3/4}\\ \text{m/s}.
Vamos avaliar numericamente 2^{3/4}. Uma forma prática: 2^{3/4}=2^{1/2}\cdot2^{1/4}. Usando aproximações conhecidas,
2^{1/2}\approx 1,41421356,\qquad 2^{1/4}\approx 1,18920712,
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2^{3/4}\approx 1,68179283.
Portanto
v_M(2)=7\cdot 1,68179283\approx 11,773\\ \text{m/s}.

Passo 4

Aplicando o método do Passo 2, obter-se-ia a velocidade de A a partir de v_M usando a relação específica do sistema. Como essa relação não foi fornecida, não há resposta única. Para ilustrar como usar o valor calculado de v_M(2):
  • Se a configuração for a do exemplo da polia móvel (dois trechos associados a A), a relação seria v_A=-\tfrac{1}{2}v_M. Assim
v_A(2)=-\tfrac{1}{2}\cdot 11{,}773\approx -5{,}887\\ \text{m/s},
onde o sinal negativo indica sentido oposto ao escolhido para v_M.
  • Se a corda transmitisse o movimento sem multiplicação (caso direto), teria
v_A(2)=\pm 11{,}773\\ \text{m/s},
com o sinal dependendo da convenção de direções.

Passo 5

O que eu preciso que você me confirme (se quiser que eu calcule um valor numérico único): envie a figura do problema ou descreva exatamente como a corda passa e como A está conectada (quantas seções da corda ligam-se ao cilindro A, pontos fixos, polias móveis, etc.). Com essa informação eu aplico imediatamente o procedimento do Passo 2, substituo v_M(2)=7\cdot2^{3/4} e devolvo v_A(2) com todos os sinais e explicações.
Força aí — a parte de montar a equação de comprimento e diferenciar é simples depois que a figura/descrição estiver clara. 😃

Resposta

Não é possível determinar unicamente v_A sem a figura ou sem a relação geométrica entre v_M e v_A; com os dados atuais apenas se obtém v_M(2)=7\cdot2^{3/4}\approx 11{,}773\\ \text{m/s}.

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