3* QUESTÃO ( \mathbf{3 0 \%} ): Uma área a ser aterrada consiste de uma camada de argila com 7 metros de espessura, acima de uma camada de areia. O nível d’água coincide com a superfície do terreno, A argila será carregada por um aterro com 3 metros de altura e peso específico de 15,2 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}.
Ensaios executados na argila indicam um \mathrm{C}_{\mathrm{v}} igual a 3,9 \times 10^{-3} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{seg} e \gamma_{\text {sat }} igual a 17,8 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}.Com base nessas informações, pede-se calcular a tensão vertical efetiva ( \sigma ') e o excesso de poro-pressão a
3,5 metros de profundidade na camada de argila:
3.1 - Imediatamente após o lançamento instantâneo da sobrecarga.
3.2-6 meses após a colocação da sobrecarga.
3.3 - No final do processo de adensamento primário.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os valores do enunciado):
  • Espessura da camada de argila: H=7\\ \mathrm{m}.
  • Profundidade onde se quer avaliar: z=3,5\\ \mathrm{m} (metade da espessura).
  • Nível d’água coincide com a superfície do terreno.
  • Aterro com altura h=3\\ \mathrm{m} e peso específico \gamma_{\text{aterro}}=15{,}2\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.
  • Ensaio na argila dá:
    • coeficiente de adensamento C_v = 3{,}9\times10^{-3}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s},
    • peso específico saturado \gamma_{\text{sat}}=17{,}8\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.
  • Constante assumida da água: \gamma_w=9{,}81\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3 (valor padrão).
  • Pergunta: calcular, a z=3{,}5\\ \mathrm{m},
    1. imediatamente após o lançamento instantâneo da sobrecarga (curto prazo);
    2. após 6 meses da colocação da sobrecarga;
    3. ao final do processo de adensamento primário (curto prazo final).
Observação importante usada adiante (explico a física nos próximos passos): como o nível d’água está na superfície e a camada de argila assenta sobre areia (permeável), vamos considerar que há escoamento de drenagem tanto para cima quanto para baixo (dupla drenagem). Portanto o comprimento de escoamento máximo é H_{\text{dr}}=H/2=3{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Calcular a carga de superfície causada pelo aterro (a chamada tensão total adicional na superfície). Para um aterro uniforme,
\Delta\sigma=q=\gamma_{\text{aterro}}\cdot h.
Substituindo os números:
q = 15{,}2\cdot 3 = 45{,}6\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
Explicação rápida: \gamma é força por volume; multiplicando pela altura dá força por área (pressão).

Passo 3

Calcular as tensões no ponto z=3{,}5\\ \mathrm{m} antes da sobrecarga (condição inicial), porque precisaremos disso para achar a tensão efetiva e o aumento de poro-pressão.
  • Tensão vertical total inicial (autopeso saturado da argila até a profundidade z):
\sigma_{v0}=\gamma_{\text{sat}}\cdot z = 17{,}8\cdot 3{,}5 = 62{,}30\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
  • Pressão de poros inicial (hidrostática), já que o nível d’água está na superfície:
u_0=\gamma_w\cdot z = 9{,}81\cdot 3{,}5 = 34{,}335\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
  • Tensão vertical efetiva inicial:
\sigma'_{0}=\sigma_{v0}-u_0 = 62{,}30 - 34{,}335 = 27{,}965\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
Comentário didático: a tensão efetiva \sigma' é a parte da tensão total que fica “efetivamente” transmitida pela estrutura sólida do solo; a água suporta parte da carga através da pressão de poros u, por isso \sigma'=\sigma_v-u.

Passo 4

Caso imediato (imediatamente após o lançamento instantâneo da sobrecarga)
Física curta: no instante em que a carga é aplicada não houve tempo para drenagem na argila; o solo comporta-se como não drenado — portanto o aumento de pressão de poros inicial \Delta u_{\text{inst}} corresponde à carga aplicada q (em 1D simples e para carregamento uniforme grande-área):
\Delta u_{\text{inst}} = q = 45{,}6\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
Assim a pressão de poros total imediatamente depois da carga é
u_{\text{inst}} = u_0 + \Delta u_{\text{inst}} = 34{,}335 + 45{,}6 = 79{,}935\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
A tensão vertical total depois da aplicação é
\sigma_v = \sigma_{v0} + q = 62{,}30 + 45{,}6 = 107{,}90\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
Logo a tensão efetiva imediata vale
\sigma'_{\text{inst}} = \sigma_v - u_{\text{inst}} = 107{,}90 - 79{,}935 = 27{,}965\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2,
ou seja, a tensão efetiva não mudou no instante inicial (é igual a \sigma'_0), pois o aumento da tensão total foi totalmente absorvido como aumento de pressão de poros.
Resumo do passo: imediatamente após aplicar o aterro, o excesso de poro-pressão gerado é 45{,}6\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2 e a tensão efetiva permanece 27{,}965\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.

Passo 5

Teoria do adensamento e cálculo para 6 meses
  1. Conversão de unidades do coeficiente de adensamento:
C_v = 3{,}9\times10^{-3}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s} = 3{,}9\times10^{-3}\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} = 3{,}9\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Explicação: 1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
  1. Definir o comprimento de escoamento H_{\text{dr}}. Como o nível d’água está na superfície (topo drenante) e a base é areia (permeável), há drenagem para cima e para baixo: dupla drenagem. Então
H_{\text{dr}} = \frac{H}{2} = 3{,}5\\ \mathrm{m}.
No método clássico de Terzaghi usamos o fator de tempo
T_v = \frac{C_v\\ t}{H_{\text{dr}}^{2}}.
  1. Converter 6 meses para segundos (assumo meses de 30 dias, procedimento usual em problemas de prova):
t = 6\\ \text{meses} = 6\cdot 30\cdot 24\cdot 3600 = 15\,552\,000\\ \mathrm{s}.
  1. Calcular T_v:
C_v t = 3{,}9\times10^{-7}\cdot 15\,552\,000 \approx 6{,}0643\\ \mathrm{m}^2,
T_v = \frac{6{,}0643}{3{,}5^2} = \frac{6{,}0643}{12{,}25} \approx 0{,}495.
  1. Agora a parte prática: queremos saber qual é a pressão de poros residual no ponto médio z=H/2 após esse tempo. A solução analítica (Séries de Fourier) para o decaimento da pressão de poros em uma camada com dupla drenagem é, em ponto z,
\frac{u(z,t)}{u_{\text{0,exc}}}=\frac{4}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{2m+1}\sin\!\bigg(\frac{(2m+1)\pi z}{H}\bigg)\exp\!\bigg(-\frac{(2m+1)^2\pi^2 C_v t}{4H^2}\bigg),
onde u_{\text{0,exc}} é o excesso de poro-pressão inicial (aqui q). Para o ponto médio z=H/2 temos \sin\!\big(\tfrac{(2m+1)\pi}{2}\big)=(-1)^m. Assim
\frac{\Delta u(t)}{q}=\frac{4}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{2m+1}\exp\!\bigg(-\frac{(2m+1)^2\pi^2 T_v}{4}\bigg).
Em prática de prova basta tomar o primeiro termo da série ( m=0); os termos subsequentes são muito pequenos quando o expoente é razoável (ainda mais para m\ge1). Então, aproximadamente,
\frac{\Delta u(t)}{q}\approx \frac{4}{\pi}\exp\!\bigg(-\frac{\pi^2 T_v}{4}\bigg).
  1. Calcular a fração residual usando T_v=0{,}495:
\exp\!\bigg(-\frac{\pi^2 T_v}{4}\bigg)=\exp\!\bigg(-\frac{\pi^2\cdot 0{,}495}{4}\bigg)\approx 0{,}2947,
\frac{\Delta u(t)}{q}\approx \frac{4}{\pi}\cdot 0{,}2947 \approx 0{,}375.
Portanto a pressão de poros excedente remanescente no centro é cerca de 37{,}5\% do excedente inicial.
  1. Calcular os valores numéricos:
\Delta u_{\text{6 meses}} \approx 0{,}375\cdot q = 0{,}375\cdot 45{,}6 \approx 17{,}10\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
A pressão de poros total então é
u_{\text{6 meses}} = u_0 + \Delta u_{\text{6 meses}} = 34{,}335 + 17{,}10 \approx 51{,}435\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
A tensão vertical total permanece \sigma_v=107{,}90\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2 (a carga total não desaparece). Assim a tensão efetiva após 6 meses é
\sigma'_{\text{6 meses}} = \sigma_v - u_{\text{6 meses}} = 107{,}90 - 51{,}435 \approx 56{,}465\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
Comentário didático: o uso do primeiro termo da série dá uma aproximação bastante boa aqui porque o expoente no termo principal já reduz bastante os termos de ordem superior; para propósitos de prova essa aproximação é a norma.

Passo 6

Estado final do adensamento primário (U → 100%)
No final do adensamento primário toda a pressão de poros excedente gerada pela carga teve tempo de dissipar para as superfícies drenantes, portanto o excedente remanescente é zero:
\Delta u_{\text{final}} = 0.
Logo a pressão de poros total volta a ser apenas a pressão hidrostática inicial:
u_{\text{final}} = u_0 = 34{,}335\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
A tensão vertical total é a mesma calculada antes ( \sigma_v=107{,}90\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2), portanto a tensão efetiva final é
\sigma'_{\text{final}} = \sigma_v - u_{\text{final}} = 107{,}90 - 34{,}335 = 73{,}565\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
Alternativamente pode-se ver que \sigma'_{\text{final}}=\sigma'_0+q = 27{,}965+45{,}6 = 73{,}565\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.

Resposta

Imediatamente após a sobrecarga: \sigma' = 27{,}965\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2 ; excesso de poro-pressão =45{,}6\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2
Após 6 meses: \sigma' \approx 56{,}465\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2 ; excesso de poro-pressão \approx 17{,}10\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2
Ao final do adensamento primário: \sigma' = 73{,}565\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2 ; excesso de poro-pressão =0\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2

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