(1 ponto) Dada a corrente i(t)=10 \sin \left(377 t-60^{\circ}\right), determine sua representação fasorial.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a corrente no tempo i(t)=10 \sin\left(377\,t-60^\circ\right).
  • Pedido: determinar a representação fasorial dessa corrente (isto é, representar a onda senoidal por um número complexo que contém sua magnitude e sua fase).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • amplitude de pico: I_m=10 (unidades de corrente).
  • pulsação (frequência angular): \omega=377\\ \text{rad/s}.
  • fase na forma seno: \varphi_{\sin}=-60^\circ.

Passo 2

O que é um fasor (explicação didática e intuitiva)
  • Um fasor é uma forma compacta de representar uma tensão ou corrente senoidal no regime permanente, usando um número complexo que contém a magnitude e a fase da senóide (ou seja, representa amplitude e deslocamento de fase).
  • Convenção usual (mais comum em circuitos): expressa-se a senóide como cosseno de referência. Se tiver uma corrente do tipo \,i(t)=I_m\cos(\omega t+\varphi)\,, o fasor de pico é \tilde{I}=I_m\angle\varphi.
  • Se preferir o fasor em valor eficaz (RMS), usa-se I_{\text{rms}}=I_m/\sqrt{2} e o fasor RMS é \tilde{I}_{\text{rms}}=I_{\text{rms}}\angle\varphi.
  • Aqui precisamos cuidar porque a corrente está dada em seno; então convertemos seno para cosseno (passo seguinte).

Passo 3

Converter seno para cosseno (identidade trigonométrica básica)
  • Identidade útil: \sin(\theta)=\cos\!\bigl(\theta-90^\circ\bigr).
  • Aplicando ao argumento da senóide:
\sin\!\bigl(377t-60^\circ\bigr)=\cos\!\bigl(377t-60^\circ-90^\circ\bigr)=\cos\!\bigl(377t-150^\circ\bigr).
  • Logo podemos reescrever a corrente como
i(t)=10\cos\!\bigl(377t-150^\circ\bigr).
  • Agora está no formato padrão \,I_m\cos(\omega t+\varphi)\, com I_m=10 e \varphi=-150^\circ.

Passo 4

Fasor na forma polar (amplitude de pico)
  • Pelo que vimos, o fasor de pico (usando a convenção do cosseno) é simplesmente a amplitude de pico com o ângulo de fase:
\tilde{I}_{\text{pico}}=10\angle -150^\circ.
  • Isso já é uma representação fasorial válida (polar, pico).

Passo 5

Fasor na forma RMS (frequentemente usado em circuitos)
  • Passo para RMS: I_{\text{rms}}=\dfrac{I_m}{\sqrt{2}}=\dfrac{10}{\sqrt{2}}.
  • Portanto o fasor RMS é
\tilde{I}_{\text{rms}}=\frac{10}{\sqrt{2}}\angle -150^\circ\approx 7,07\angle -150^\circ.

Passo 6

Forma retangular (opcional, útil em algumas contas)
  • Para converter de polar para retangular usa-se \tilde{I}=I\bigl(\cos\varphi + j\sin\varphi\bigr).
  • Como \cos(-150^\circ)=\cos(150^\circ)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(-150^\circ)=-\dfrac{1}{2}, o fasor de pico em forma retangular é
\tilde{I}_{\text{pico}}=10\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-j\frac{1}{2}\right)=-5\sqrt{3}-j5\approx -8,66-j5,00.
  • O fasor RMS em retangular é esse valor dividido por \sqrt{2}:
\tilde{I}_{\text{rms}}=\frac{10}{\sqrt{2}}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-j\frac{1}{2}\right)\approx -6,12-j3,54.

Passo 7

Resumo rápido do raciocínio para a prova (dicas práticas)
  • Se der seno, converta para cosseno com \sin(\theta)=\cos(\theta-90^\circ) antes de formar o fasor (ou saiba trabalhar com fasor referenciado a seno, mas a convenção de cosseno é a mais comum).
  • Escolha se quer fasor de pico ( I_m) ou fasor RMS ( I_m/\sqrt{2}); em problemas de potência e circuitos usa-se geralmente RMS.
  • Para conversão polar↔retangular use \cos e \sin do ângulo e atenção ao sinal.

Resposta

\tilde{I}_{\text{pico}}=10\angle -150^\circ
\tilde{I}_{\text{rms}}=\dfrac{10}{\sqrt{2}}\angle -150^\circ\approx 7,07\angle -150^\circ

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