a) (1 ponto) Decida a posição relativa entre as retas L1:lx=1+t, y=-2+3 t, z=4-t, e L2:lx=2 s, y=3+s, z=-3+4 s
b) [0,5 pontos ] Mostre que a distância entre duas retas reversas r1: X=A+t v1 e r2=X= B+s v2 é dada pela fórmula d(r1, r2)=|lang<= v1 wed>= v2, A Brang<=||v1 wed>= v2|.
c) ( 0,5 pontos) Determine a distância entre as retas L1 e L2 do item a).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, L1 e L2 , e queremos:
a) Descobrir como essas retas estão posicionadas uma em relação à outra.
b) Mostrar uma fórmula que calcula a distância entre duas retas que não se cruzam e não são paralelas (chamadas de retas reversas).
c) Usar essa fórmula para calcular a distância entre L1 e L2 do item a).
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas, vetores, produto vetorial e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as retas L1 e L2 para ver como elas estão posicionadas uma em relação à outra.
As equações paramétricas são:
L1: x = 1 + t y = -2 + 3t z = 4 - t
L2: x = 2s y = 3 + s z = -3 + 4s
Para saber a posição relativa, precisamos verificar se elas são paralelas, se se intersectam ou se são retas reversas (não se cruzam e não são paralelas).

Passo 3

Vamos primeiro encontrar os vetores diretores das duas retas. O vetor diretor é dado pelos coeficientes de t ou s nas equações paramétricas.
Para L1 , o vetor diretor v1 é:
v1 = 1 3 -1
Para L2 , o vetor diretor v2 é:
v2 = 2 1 4
Agora, vamos ver se esses vetores são paralelos. Se um vetor é múltipulo do outro, as retas são paralelas.
Vamos tentar achar um escalar lambda tal que v1 = lambda v2 :
1 = 2lambda 3 = lambda -1 = 4lambda
Não existe um único lambda que satisfaça todas essas equações, então as retas não são paralelas.
Agora, vamos verificar se elas se intersectam. Se existe um par de valores t e s que satisfaçam todas as três equações simultaneamente, as retas se interceptam.
Igualando as equações:
1 + t = 2s (1) -2 + 3t = 3 + s (2) 4 - t = -3 + 4s (3)
Vamos resolver o sistema:
Da equação (1): t = 2s - 1
Substituindo t na equação (2):
-2 + 3(2s - 1) = 3 + s -2 + 6s - 3 = 3 + s 6s - 5 = 3 + s 5s = 8 s = 85 t = 2 cdot 85 - 1 = 165 - 55 = 115
Agora, vamos verificar na equação (3):
4 - 115 = -3 + 4 cdot 85 205 - 115 = -155 + 325 95 = 175
Isso não é verdade, então as retas não se intersectam. Como elas não são paralelas nem se cruzam, são retas reversas.

Passo 4

Agora que sabemos que L1 e L2 são retas reversas, vamos calcular a distância entre elas usando a fórmula dada:
d(r1, r2) = |lang<= v1 wed>= v2, AB rang<=|| v1 wed>= v2 |
Onde:
  • v1 e v2 são os vetores diretores das retas.
  • AB é o vetor que vai de um ponto A em r1 a um ponto B em r2 .
  • wed>= representa o produto vetorial.
  • lang<= cdot , cdot rang<= representa o produto escalar.
  • | cdot | representa a norma (magnitude) do vetor.
Vamos escolher pontos A e B nas retas L1 e L2 :
  • Em L1 , quando t = 0 , temos A = (1, -2, 4) .
  • Em L2 , quando s = 0 , temos B = (0, 3, -3) .
Então, o vetor AB é:
AB = B - A = 0 - 1 3 - (-2) -3 - 4 = -1 5 -7
Vamos calcular o produto vetorial v1 wed>= v2 :
v1 wed>= v2 = 1 3 -1 wed>= 2 1 4 = (3)(4) - (-1)(1) -[(1)(4) - (-1)(2)] (1)(1) - (3)(2) = 12 + 1 -[4 + 2] 1 - 6 = 13 -6 -5
Agora, o produto escalar lang<= v1 wed>= v2 , AB rang<= :
lang<= 13 -6 -5 , -1 5 -7 rang<= = (13)(-1) + (-6)(5) + (-5)(-7) = -13 - 30 + 35 = -8
O valor absoluto desse produto escalar é | -8 | = 8 .
Agora, vamos calcular a norma do produto vetorial | v1 wed>= v2 | :
| 13 -6 -5 | = raiz13^2 + (-6)^2 + (-5)^2 = raiz169 + 36 + 25 = raiz230 approx 15,1658
Finalmente, aplicando a fórmula da distância:
d = 8raiz230 approx 815,1658 approx 0,528 unidades

Resposta

A distância entre as retas L1 e L2 é aproximadamente 0,528 unidades.

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