a) (1 ponto) Decida a posição relativa entre as retas e L2:lx=2 s, y=3+s, z=-3+4 s
b) [0,5 pontos ] Mostre que a distância entre duas retas reversas r1: X=A+t v1 e r2=X=B+s v2 é dada pela fórmula d(r1, r2)=|lang<= v1 wed>= v2, A Brang<=||v1 wed>= v2|.
c) ( 0,5 pontos) Determine a distância entre as retas L1 e L2 do item a).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, L1 e L2 , e queremos:
a) Descobrir como essas retas estão posicionadas uma em relação à outra.
b) Mostrar uma fórmula que calcula a distância entre duas retas que não se cruzam e não são paralelas (chamadas de retas reversas).
c) Usar essa fórmula para calcular a distância entre L1 e L2 do item a).
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas, vetores, produto vetorial e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as retas L1 e L2 para ver como elas estão posicionadas uma em relação à outra.
As equações paramétricas são:
L1: x = 1 + t y = -2 + 3t z = 4 - t
L2: x = 2s y = 3 + s z = -3 + 4s
Para saber a posição relativa, precisamos verificar se elas são paralelas, se se intersectam ou se são retas reversas (não se cruzam e não são paralelas).
Passo 3
Vamos primeiro encontrar os vetores diretores das duas retas. O vetor diretor é dado pelos coeficientes de t ou s nas equações paramétricas.
Para L1 , o vetor diretor v1 é:
v1 = 1 3 -1
Para L2 , o vetor diretor v2 é:
v2 = 2 1 4
Agora, vamos ver se esses vetores são paralelos. Se um vetor é múltipulo do outro, as retas são paralelas.
Vamos tentar achar um escalar lambda tal que v1 = lambda v2 :
1 = 2lambda 3 = lambda -1 = 4lambda
Não existe um único lambda que satisfaça todas essas equações, então as retas não são paralelas.
Agora, vamos verificar se elas se intersectam. Se existe um par de valores t e s que satisfaçam todas as três equações simultaneamente, as retas se interceptam.
Igualando as equações:
1 + t = 2s (1) -2 + 3t = 3 + s (2) 4 - t = -3 + 4s (3)
Vamos resolver o sistema:
Da equação (1): t = 2s - 1
Substituindo t na equação (2):
-2 + 3(2s - 1) = 3 + s -2 + 6s - 3 = 3 + s 6s - 5 = 3 + s 5s = 8 s = 85 t = 2 cdot 85 - 1 = 165 - 55 = 115