a) [0,5 pontos ] Mostre que os três pontos A=(2,1,2), B=(3,-8,6) e C=(-2,-3,1) são não colineares.
b) [0,5 pontos ] Determine as equações vetorial e paramétrica do plano que contêm A, B e C.
c) [0,5 pontos ] Determine a equação geral do plano que contêm A, B e C.
d) [0,5 pontos ] Determine a equação vetorial da reta de interseção dos dois planos x+y+z=1 e x-2 y+3 z=1, sem resolver sistemas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que precisa ser feito aqui! O exercício tem quatro partes:
a) Precisamos mostrar que os pontos A=(2,1,2), B=(3,-8,6) e C=(-2,-3,1) não estão na mesma linha (são não colineares).
b) Temos que encontrar as equações vetorial e paramétrica do plano que passa por esses três pontos.
c) É para determinar a equação geral desse mesmo plano.
d) Por fim, precisamos achar a equação vetorial da reta onde dois planos se intersectam, sem resolver sistemas.
Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores, planos e retas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte a: Mostrar que os pontos A, B e C são não colineares
Primeiro, vamos entender o que significa pontos colineares. Três pontos são colineares se eles estão alinhados numa mesma reta. Para verificar isso, podemos ver se os vetores formados por eles são lineares, ou seja, se um é múltiplo do outro.
Vamos calcular os vetores AB e AC:
AB = B - A = (3-2, -8-1, 6-2) = (1, -9, 4)
AC = C - A = (-2-2, -3-1, 1-2) = (-4, -4, -1)
Agora, se quisermos saber se AB e AC são colineares, deve existir um número k tal que:
AC = k cdot AB
Vamos comparar as componentes:
-4 = k cdot 1 Rightarrow k = -4
-4 = k cdot (-9) Rightarrow k = 49
-1 = k cdot 4 Rightarrow k = -14
Os valores de k não são consistentes, então AB e AC não são múltiplos um do outro. Portanto, os pontos A, B e C não estão na mesma reta, ou seja, são não colineares.

Passo 3

Parte b: Determinar as equações vetorial e paramétrica do plano que contêm A, B e C
Para encontrar as equações do plano, precisamos primeiro encontrar dois vetores que estão no plano. Já temos AB e AC que calculamos anteriormente:
AB = (1, -9, 4)
AC = (-4, -4, -1)
Agora, para encontrar a equação vetorial do plano, usamos um ponto do plano e os vetores diretores. Vamos usar o ponto A.
A equação vetorial do plano é:
r = A + scdotAB + tcdotAC
Substituindo os valores:
r = (2,1,2) + scdot(1,-9,4) + tcdot(-4,-4,-1)
Agora, para a equação paramétrica, precisamos separar as componentes:
x = 2 + s(1) + t(-4) = 2 + s - 4t
y = 1 + s(-9) + t(-4) = 1 - 9s - 4t
z = 2 + s(4) + t(-1) = 2 + 4s - t
Então, as equações paramétricas são:
x = 2 + s - 4t y = 1 - 9s - 4t z = 2 + 4s - t

Passo 4

Parte c: Determinar a equação geral do plano que contêm A, B e C
Para achar a equação geral do plano, precisamos de um vetor normal n ao plano. Podemos encontrar n fazendo o produto vetorial dos vetores AB e AC:
n = AB times AC
Calculando:
AB times AC = i & j & k 1 & -9 & 4 -4 & -4 & -1
= i cdot [(-9)(-1) - 4(-4)] - j cdot [(1)(-1) - 4(-4)] + k cdot [(1)(-4) - (-9)(-4)]
= i cdot (9 + 16) - j cdot (-1 + 16) + k cdot (-4 - 36)
= 25i - 15j - 40k
Então, o vetor normal é n = (25, -15, -40). Podemos simplificar dividindo por 5:
n = (5, -3, -8)
Agora, usando a equação geral do plano:
5(x - 2) - 3(y - 1) - 8(z - 2) = 0
Distribuindo:
5x - 10 - 3y + 3 - 8z + 16 = 0
5x - 3y - 8z + 9 = 0
Então, a equação geral do plano é:
5x - 3y - 8z + 9 = 0

Passo 5

Parte d: Determinar a equação vetorial da reta de interseção dos dois planos x + y + z = 1 e x - 2y + 3z = 1, sem resolver sistemas
Para encontrar a reta de interseção de dois planos, precisamos de um ponto que pertença à reta e de um vetor diretor para a reta.
Primeiro, vamos achar o vetor diretor. Esse vetor é perpendicular aos vetores normais dos dois planos. Os vetores normais são:
n1 = (1, 1, 1) e n2 = (1, -2, 3)
O vetor diretor v é o produto vetorial desses vetores:
v = n1 times n2
Calculando:
v = i & j & k 1 & 1 & 1 1 & -2 & 3
= i(1 cdot 3 - 1 cdot (-2)) - j(1 cdot 3 - 1 cdot 1) + k(1 cdot (-2) - 1 cdot 1)
= i(3 + 2) - j(3 - 1) + k(-2 -1)
= 5i - 2j -3k
Então, o vetor diretor é v = (5, -2, -3).
Agora, precisamos de um ponto na reta. Vamos escolher z = 0 para facilitar. Substituindo z = 0 nas equações dos planos:
Primeiro plano: x + y = 1
Segundo plano: x - 2y = 1
Resolvendo esse sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
2x + 2y = 2
x - 2y = 1
Somando as duas equações:
3x = 3 Rightarrow x = 1
1 + y = 1 Rightarrow y = 0
Então, um ponto na reta é P = (1, 0, 0).
Finalmente, a equação vetorial da reta é:
r = P + tcdotv = (1, 0, 0) + tcdot(5, -2, -3)

Resposta

Finalizamos todas as partes do exercício:
a) Os pontos A, B e C são não colineares porque os vetores [\vec{AB}) e não são múltiplos um do outro.
b) A equação vetorial do plano é e as equações paramétricas são:
c) A equação geral do plano é (5x - 3y - 8z + 9 = 0].
d) A equação vetorial da reta de interseção dos planos é .

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