(1,0 ponto)
(a) Demonstre o Teorema do Confronto: Sejam \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right) e \left(c_{n}\right) sequências reais tais que a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}, para todo n \geq n_{0}, para algum n_{0} \in \mathbb{N}. Se
\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=L, \text { então } \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=Lã
(b) Use o Teorema do Confronto para demonstrar que \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos (n)}{n}=0.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
(a) Tem-se três sequências reais \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right),\left(c_{n}\right) e um inteiro n_{0} tais que, para todo n\ge n_{0},
a_{n}\le b_{n}\le c_{n}.
Além disso sabe-se que
\lim_{n\to\infty} a_{n}=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty} c_{n}=L.
A pergunta é: provar que \lim_{n\to\infty} b_{n}=L.
(b) Usar o Teorema do Confronto para mostrar que
\lim_{n\to\infty}\frac{\cos(n)}{n}=0.

Passo 2

Vou lembrar com clareza a definição de limite de sequência que vou usar (essa é a ferramenta principal do teorema).
Definição (forma \varepsilon- N). Dizemos que \lim_{n\to\infty} x_n = X se, para todo \varepsilon>0, existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|x_n - X| < \varepsilon.
Interpretando: dado qualquer erro tolerável \varepsilon, a partir de algum índice N todas as parcelas x_n ficam dentro do intervalo aberto (X-\varepsilon,X+\varepsilon).

Passo 3

Prova do Teorema do Confronto (parte (a)), começando pelo argumento \varepsilon- N.
Seja um \varepsilon>0 arbitrário. Como \lim_{n\to\infty} a_n = L, pela definição existe N_1\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_1,
|a_n - L| < \varepsilon.
Isso implica, para n\ge N_1,
L-\varepsilon < a_n < L+\varepsilon.
De modo análogo, como \lim_{n\to\infty} c_n = L, existe N_2\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_2,
|c_n - L| < \varepsilon,
ou seja
L-\varepsilon < c_n < L+\varepsilon.

Passo 4

Agora use a hipótese das desigualdades a_n\le b_n\le c_n, válida para todo n\ge n_0.
Defina
N := \max\{n_0,\;N_1,\;N_2\}.
Então, para todo n\ge N temos simultaneamente:
  • n\ge n_0, logo a_n\le b_n\le c_n;
  • n\ge N_1, logo L-\varepsilon < a_n < L+\varepsilon;
  • n\ge N_2, logo L-\varepsilon < c_n < L+\varepsilon.
Combinando essas desigualdades, para n\ge N obtemos
L-\varepsilon < a_n \le b_n \le c_n < L+\varepsilon.
Portanto, para n\ge N,
L-\varepsilon < b_n < L+\varepsilon,
o que é equivalente a
|b_n - L| < \varepsilon.

Passo 5

Concluímos pela definição de limite que, como a desigualdade acima vale para todo \varepsilon>0 a partir de algum N, tem-se
\lim_{n\to\infty} b_n = L.
Isto prova o Teorema do Confronto para sequências.

Passo 6

Agora a parte (b). Queremos usar o Teorema do Confronto para \dfrac{\cos(n)}{n}.
Começo pela desigualdade elementar da função cosseno: para todo real x vale
-1 \le \cos(x) \le 1.
Tomando x=n (inteiro), e dividindo por n>0 (podemos tomar n\ge 1), obtemos para todo n\ge 1:
-\dfrac{1}{n} \le \dfrac{\cos(n)}{n} \le \dfrac{1}{n}.

Passo 7

Mostro que as sequências \left(-\dfrac{1}{n}\right) e \left(\dfrac{1}{n}\right) convergem para 0.
Seja \varepsilon>0. Escolha N\in\mathbb{N} tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon} (por exemplo N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil). Então, para todo n\ge N,
0<\dfrac{1}{n}\le\dfrac{1}{N}<\varepsilon.
Logo \left|\dfrac{1}{n}-0\right|<\varepsilon e portanto \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0. Do mesmo modo \lim_{n\to\infty}-\dfrac{1}{n}=0.

Passo 8

Agora aplicamos o Teorema do Confronto (parte a) às três sequências
-\dfrac{1}{n}\le \dfrac{\cos(n)}{n}\le \dfrac{1}{n},
cujos limites das extremas são ambos 0. Pelo teorema, a sequência do meio converge para o mesmo limite:
\lim_{n\to\infty}\dfrac{\cos(n)}{n}=0.

Resposta

\lim_{n\to\infty} b_{n} = L
\lim_{n\to\infty} \dfrac{\cos(n)}{n} = 0

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