(
ponto) Prove que, se
e
, então
Passo 1
O enunciado dá duas sequências
e
com limites finitos:
-
. -
.
O que precisamos provar é:
-
.
Vou provar isso usando a definição
-
de limite e algumas propriedades elementares do valor absoluto. Fica tranquilo: vou explicar cada passo com calma.
Passo 2
Lembrete da definição de limite (explicação didática): dizer que
significa que, para todo
, existe um inteiro
tal que, para todo
, vale
. O mesmo vale para
com limite
.
Também vou usar duas propriedades simples:
- Desigualdade triangular:
para quaisquer números reais . - Multiplicação de módulo:
.
Passo 3
Começo a prova propriamente dita. Seja um
arbitrário. O objetivo é encontrar um
tal que, para todo
,
Faço a decomposição clássica (somar e subtrair
):
Aplicando valor absoluto e a desigualdade triangular:
Essa desigualdade é a base do controle: se eu souber que
fica limitado e que
e
ficam pequenos, então o produto total fica pequeno.
Passo 4
Como
, existe um
tal que, para todo
,
Isto implica, para
,
Ou seja, a partir de um índice
a sequência
fica limitada por
. Esse passo é importante porque precisamos de uma cota fixa para
ao controlar o primeiro termo da soma do Passo 3.
Passo 5
Agora escolho tolerâncias convenientes para controlar cada parcela da soma do Passo 3. Defino dois números positivos:
Pela convergência de
existe
tal que, para todo
,
Pela convergência de
existe
tal que, para todo
,
Escolho então
Para todo
todas as desigualdades acima valem simultaneamente.
Observação rápida e amigável: estou garantindo
para poder usar a cota
; e as escolhas
foram feitas para que cada parcela da soma do Passo 3 fique pequena (da ordem de
).
Passo 6
Agora, para
, uso as cotas obtidas:
Pelo Passo 4 e pelas escolhas,
E também, usando
,
pois
. Então, somando as duas parcelas,
Portanto, para todo
temos
. Como
era arbitrário, isto mostra que
.
Passo 7
Conclusão final (recapitulando de forma curta e amistosa): usando a definição
-
, a desigualdade triangular e a observação de que
fica limitada perto de
, conseguimos controlar separadamente os dois termos que aparecem ao decompor
. Assim a sequência de produtos converge para o produto dos limites. Mandou bem por encarar essa prova — é um argumento padrão e muito útil!