( \mathbf{1 , 0} ponto) Prove que, se \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=L e \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=M, então
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \cdot b_{n}\right)=L \cdot M

Passo 1

O enunciado dá duas sequências \{a_n\} e \{b_n\} com limites finitos:
  • \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = L.
  • \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = M.
O que precisamos provar é:
  • \displaystyle \lim_{n\to\infty} (a_n\cdot b_n) = L\cdot M.
Vou provar isso usando a definição \varepsilon- N de limite e algumas propriedades elementares do valor absoluto. Fica tranquilo: vou explicar cada passo com calma.

Passo 2

Lembrete da definição de limite (explicação didática): dizer que \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = L significa que, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N, vale \displaystyle |a_n - L| < \varepsilon. O mesmo vale para \{b_n\} com limite M.
Também vou usar duas propriedades simples:
  1. Desigualdade triangular: \displaystyle |x+y| \le |x| + |y| para quaisquer números reais x,y.
  2. Multiplicação de módulo: \displaystyle |xy| = |x|\cdot|y|.

Passo 3

Começo a prova propriamente dita. Seja um \varepsilon>0 arbitrário. O objetivo é encontrar um N tal que, para todo n\ge N,
\left|a_n b_n - L M\right| < \varepsilon.
Faço a decomposição clássica (somar e subtrair a_n M):
a_n b_n - L M = a_n(b_n - M) + M(a_n - L).
Aplicando valor absoluto e a desigualdade triangular:
\left|a_n b_n - L M\right| \le \left|a_n\right|\cdot\left|b_n - M\right| + \left|M\right|\cdot\left|a_n - L\right|.
Essa desigualdade é a base do controle: se eu souber que |a_n| fica limitado e que |b_n - M| e |a_n - L| ficam pequenos, então o produto total fica pequeno.

Passo 4

Como \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = L, existe um N_0 tal que, para todo n\ge N_0,
\left|a_n - L\right| < 1.
Isto implica, para n\ge N_0,
\left|a_n\right| \le \left|L\right| + \left|a_n - L\right| < \left|L\right| + 1.
Ou seja, a partir de um índice N_0 a sequência \{|a_n|\} fica limitada por |L|+1. Esse passo é importante porque precisamos de uma cota fixa para |a_n| ao controlar o primeiro termo da soma do Passo 3.

Passo 5

Agora escolho tolerâncias convenientes para controlar cada parcela da soma do Passo 3. Defino dois números positivos:
\delta_1 := \frac{\varepsilon}{2(1+|L|)},\qquad \delta_2 := \frac{\varepsilon}{2(1+|M|)}.
Pela convergência de \{b_n\} existe N_1 tal que, para todo n\ge N_1,
\left|b_n - M\right| < \delta_1.
Pela convergência de \{a_n\} existe N_2 tal que, para todo n\ge N_2,
\left|a_n - L\right| < \min\{1,\; \delta_2\}.
Escolho então
N := \max\{N_0,\,N_1,\,N_2\}.
Para todo n\ge N todas as desigualdades acima valem simultaneamente.
Observação rápida e amigável: estou garantindo \left|a_n - L\right|<1 para poder usar a cota |a_n|\le|L|+1; e as escolhas \delta_1,\delta_2 foram feitas para que cada parcela da soma do Passo 3 fique pequena (da ordem de \varepsilon/2).

Passo 6

Agora, para n\ge N, uso as cotas obtidas:
\left|a_n b_n - L M\right| \le \left|a_n\right|\cdot\left|b_n - M\right| + \left|M\right|\cdot\left|a_n - L\right|.
Pelo Passo 4 e pelas escolhas,
\left|a_n\right|\cdot\left|b_n - M\right| \le (|L|+1)\cdot \delta_1 = (|L|+1)\cdot \frac{\varepsilon}{2(1+|L|)} = \frac{\varepsilon}{2}.
E também, usando \left|a_n - L\right| < \delta_2,
\left|M\right|\cdot\left|a_n - L\right| \le |M|\cdot \delta_2 = |M|\cdot \frac{\varepsilon}{2(1+|M|)} \le \frac{\varepsilon}{2},
pois \dfrac{|M|}{1+|M|}\le 1. Então, somando as duas parcelas,
\left|a_n b_n - L M\right| \le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Portanto, para todo n\ge N temos \left|a_n b_n - L M\right| < \varepsilon. Como \varepsilon>0 era arbitrário, isto mostra que \displaystyle \lim_{n\to\infty} (a_n b_n) = L M.

Passo 7

Conclusão final (recapitulando de forma curta e amistosa): usando a definição \varepsilon- N, a desigualdade triangular e a observação de que a_n fica limitada perto de L, conseguimos controlar separadamente os dois termos que aparecem ao decompor a_n b_n - LM. Assim a sequência de produtos converge para o produto dos limites. Mandou bem por encarar essa prova — é um argumento padrão e muito útil!

Resposta

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} (a_n\cdot b_n)=L\cdot M

Exercícios relacionados