(1,0 ponto)
(a) Defina sequência convergente de números reais (utilizando módulo, \varepsilon e N \in \mathbb{N} );
(b) Dê um exemplo de uma sequência \left(a_{n}\right) convergente tal que:
\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\sqrt{5}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Dar a definição de sequência convergente de números reais usando módulo, \varepsilon e N\in\mathbb{N}.
  • (b) Fornecer um exemplo de uma sequência \left(a_{n}\right) convergente tal que
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\sqrt{5}.
Não há outros dados além disso.

Passo 2

Apresento a definição formal (isso é o que o enunciado exige). Seja (a_{n}) uma sequência de números reais e seja L\in\mathbb{R}. Dizemos que (a_{n}) converge para L quando vale:
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }N\in\mathbb{N}\text{ tal que, para todo }n\ge N,\;|a_{n}-L|<\varepsilon.

Passo 3

Explicando cada parte da definição, devagar e com calma:
  • \varepsilon>0 é um número pequeno que representa “quão perto” queremos que a_n esteja de L. Podemos escolher qualquer \varepsilon (por exemplo 0,1, 0,01, 10^{-6}, etc.).
  • A expressão |a_{n}-L| é o módulo (valor absoluto) da diferença entre a_n e L; mede a distância entre a_n e o limite L.
  • A frase "para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N}" significa que, dado qualquer grau de precisão \varepsilon, conseguimos encontrar um índice N (dependendo de \varepsilon) tal que todos os termos da sequência a partir de N ficam dentro da distância \varepsilon de L.
  • Em termos intuitivos: a sequência eventualmente entra e permanece dentro de qualquer intervalo aberto (L-\varepsilon,L+\varepsilon).

Passo 4

Mostro um exemplo simples de como se usa essa definição para convencer que uma sequência converge: a sequência b_{n}=\dfrac{1}{n} converge para 0.
Cálculo:
\left|b_{n}-0\right|=\frac{1}{n}.
Queremos \dfrac{1}{n}<\varepsilon. Basta escolher N\in\mathbb{N} tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon} (por exemplo N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil). Para todo n\ge N teremos \dfrac{1}{n}\le\dfrac{1}{N}<\varepsilon. Assim \dfrac{1}{n}\to 0. Isso mostra o esquema típico de prova \varepsilon- N.

Passo 5

Agora dou um exemplo não-trivial que converge para \sqrt{5} e faço a prova \varepsilon- N. Considere a sequência
a_{n}=\sqrt{5+\frac{1}{n}}.
Primeiro calcule a diferença para o candidato L=\sqrt{5}:
\left|a_{n}-\sqrt{5}\right| =\left|\sqrt{5+\frac{1}{n}}-\sqrt{5}\right|.
Use a técnica do conjugado para manipular essa diferença:
\left|\sqrt{5+\frac{1}{n}}-\sqrt{5}\right| =\frac{\left|5+\dfrac{1}{n}-5\right|}{\sqrt{5+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{5}} =\frac{\dfrac{1}{n}}{\sqrt{5+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{5}}.
Note que o denominador é maior ou igual a \sqrt{5} porque \sqrt{5+\tfrac{1}{n}}\ge 0. Portanto
\left|a_{n}-\sqrt{5}\right| \le \frac{\dfrac{1}{n}}{\sqrt{5}}=\frac{1}{n\sqrt{5}}.
Dado um \varepsilon>0, basta escolher N\in\mathbb{N} tal que
N>\frac{1}{\varepsilon\sqrt{5}}.
Então para todo n\ge N obtemos
\left|a_{n}-\sqrt{5}\right|\le\frac{1}{n\sqrt{5}}\le\frac{1}{N\sqrt{5}}<\varepsilon.
Isto prova, pelo critério \varepsilon- N, que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\sqrt{5}.

Passo 6

Observação rápida e encorajamento: uma alternativa ainda mais simples (trivial) seria tomar a sequência constante a_n=\sqrt{5} para todo n — ela converge imediatamente para \sqrt{5}. O exemplo dado em cima, a_{n}=\sqrt{5+\tfrac{1}{n}}, é útil porque mostra uma sequência não-constante que se aproxima de \sqrt{5} e ilustra uma prova \varepsilon- N completa. Vai dar certo na prova — respira, organiza o raciocínio e aplica o esquema \varepsilon- N.

Resposta

(a) Para todo L\in\mathbb{R}, a sequência (a_{n}) converge para L se, e somente se,
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }N\in\mathbb{N}\text{ tal que, para todo }n\ge N,\;|a_{n}-L|<\varepsilon.
(b) Um exemplo é a_{n}=\sqrt{5+\dfrac{1}{n}}, pois \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{5+\dfrac{1}{n}}=\sqrt{5}.

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