( 1,0 ponto) Deseja-se construir um cilindro reto de área
(em
). Calcule as medidas do raio e da altura deste cilindro, em função de
, para que seu volume seja o maior possível. Não basta a resposta! Explique seu raciocínio.
Passo 1
O enunciado dá: deseja-se construir um cilindro reto cuja área total vale
(em
). O que é pedido: calcular o raio
e a altura
desse cilindro, expressos em função de
, de modo que o volume do cilindro seja o maior possível.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A área total do cilindro é
(unidade ). - Deve-se encontrar
e em função de que maximizem o volume.
Passo 2
Definir as variáveis e escrever as fórmulas que relacionam área e volume.
- Seja
o raio da base (em m) e a altura (em m). - O volume
do cilindro é
Explique:
é a área da base circular e multiplicando por
obtemos o volume.
- A área total
(lateral + duas bases) vale
Explique:
é a área lateral (circunferência vezes altura) e
é a soma das áreas das duas bases.
Método escolhido: eliminar uma variável usando a restrição
constante e transformar o problema numa otimização de função de uma única variável
, depois usar derivada para achar máximo. Esse método é simples e direto para este problema.
Passo 3
Isolar
a partir da restrição
. Partindo de
subtrai-se
e divide-se por
:
Explicação passo a passo: primeiro move-se o termo das bases para o outro lado e depois divide-se por
para isolar
.
Passo 4
Substituir
em
para obter
como função apenas de
:
Simplificando:
Comentário: agora temos uma função de uma variável
, fácil de derivar.
Passo 5
Encontrar
que maximiza
calculando a derivada e igualando a zero:
Igualando a zero para pontos críticos:
Como
, obtemos
Passo 6
Verificar que este ponto crítico é máximo usando a segunda derivada:
Para
temos
, logo
tem máximo local (e, pelo comportamento da função, máximo global) nesse
. Conclusão: o valor encontrado é realmente o que maximiza o volume.
Passo 7
Calcular
correspondente. Usando a expressão obtida em Passo 3:
Substituindo
podemos simplificar o quociente:
Assim
ou seja
Portanto, em termos de
,
Interpretação simples: a altura ótima é o dobro do raio (ou seja, igual ao diâmetro).
Passo 8
Resumo e leitura física: para área total fixa
, o cilindro que maximiza o volume tem formato tal que a altura é igual ao diâmetro da base (
). Isso resulta das condições de otimização e da relação entre área e volume.