( 1,0 ponto) Deseja-se construir um cilindro reto de área A (em m^{2} ). Calcule as medidas do raio e da altura deste cilindro, em função de A, para que seu volume seja o maior possível. Não basta a resposta! Explique seu raciocínio.

Passo 1

O enunciado dá: deseja-se construir um cilindro reto cuja área total vale A (em \mathrm{m}^2). O que é pedido: calcular o raio r e a altura h desse cilindro, expressos em função de A, de modo que o volume do cilindro seja o maior possível.
Informações relevantes fornecidas:
  • A área total do cilindro é A (unidade \mathrm{m}^2).
  • Deve-se encontrar r e h em função de A que maximizem o volume.

Passo 2

Definir as variáveis e escrever as fórmulas que relacionam área e volume.
  • Seja r o raio da base (em m) e h a altura (em m).
  • O volume V do cilindro é
V=\pi r^{2}h.
Explique: \pi r^{2} é a área da base circular e multiplicando por h obtemos o volume.
  • A área total A (lateral + duas bases) vale
A = 2\pi r h + 2\pi r^{2}.
Explique: 2\pi r h é a área lateral (circunferência vezes altura) e 2\pi r^{2} é a soma das áreas das duas bases.
Método escolhido: eliminar uma variável usando a restrição A= constante e transformar o problema numa otimização de função de uma única variável V(r), depois usar derivada para achar máximo. Esse método é simples e direto para este problema.

Passo 3

Isolar h a partir da restrição A. Partindo de
A = 2\pi r h + 2\pi r^{2},
subtrai-se 2\pi r^{2} e divide-se por 2\pi r:
h = \frac{A-2\pi r^{2}}{2\pi r} = \frac{A}{2\pi r} - r.
Explicação passo a passo: primeiro move-se o termo das bases para o outro lado e depois divide-se por 2\pi r para isolar h.

Passo 4

Substituir h em V=\pi r^{2}h para obter V como função apenas de r:
V(r)=\pi r^{2}\left(\frac{A}{2\pi r}-r\right).
Simplificando:
V(r)=\pi r^{2}\cdot\frac{A}{2\pi r}-\pi r^{3}=\frac{A}{2}\,r-\pi r^{3}.
Comentário: agora temos uma função de uma variável r, fácil de derivar.

Passo 5

Encontrar r que maximiza V(r) calculando a derivada e igualando a zero:
V'(r)=\frac{d}{dr}\!\left(\frac{A}{2}r-\pi r^{3}\right)=\frac{A}{2}-3\pi r^{2}.
Igualando a zero para pontos críticos:
\frac{A}{2}-3\pi r^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=\frac{A}{6\pi}.
Como r>0, obtemos
r=\sqrt{\frac{A}{6\pi}}.

Passo 6

Verificar que este ponto crítico é máximo usando a segunda derivada:
V''(r)=\frac{d}{dr}\!\left(\frac{A}{2}-3\pi r^{2}\right)=-6\pi r.
Para r>0 temos V''(r)<0, logo V tem máximo local (e, pelo comportamento da função, máximo global) nesse r. Conclusão: o valor encontrado é realmente o que maximiza o volume.

Passo 7

Calcular h correspondente. Usando a expressão obtida em Passo 3:
h=\frac{A}{2\pi r}-r.
Substituindo r^{2}=\dfrac{A}{6\pi} podemos simplificar o quociente:
\frac{A}{2\pi r^{2}}=\frac{A}{2\pi}\cdot\frac{1}{r^{2}}=\frac{A}{2\pi}\cdot\frac{6\pi}{A}=3.
Assim
\frac{A}{2\pi r^{2}}-1=3-1=2,
ou seja
\frac{h}{r}=2 \quad\Rightarrow\quad h=2r.
Portanto, em termos de A,
h=2\sqrt{\frac{A}{6\pi}}.
Interpretação simples: a altura ótima é o dobro do raio (ou seja, igual ao diâmetro).

Passo 8

Resumo e leitura física: para área total fixa A, o cilindro que maximiza o volume tem formato tal que a altura é igual ao diâmetro da base ( h=2r). Isso resulta das condições de otimização e da relação entre área e volume.

Resposta

r=\sqrt{\dfrac{A}{6\pi}}
h=2\sqrt{\dfrac{A}{6\pi}}

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