(1,5 ponto) Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{\ln x}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{\ln x}\right).
Informações que temos do enunciado:
  • O numerador é \sqrt{x}. Quando x\to\infty temos \sqrt{x}\to\infty.
  • O denominador é \ln x. Quando x\to\infty temos \ln x\to\infty.
    Portanto a expressão tem a forma indeterminada \infty/\infty. A resolução começa a partir disso.

Passo 2

Escolha do método: como temos a forma \infty/\infty e as funções envolvidas ( \sqrt{x} e \ln x) são diferenciáveis para x>0, uma maneira direta e rigorosa é aplicar a Regra de L’Hôpital. Vou explicar de forma simples o que essa regra diz:
  • Se f(x) e g(x) são diferenciáveis em um intervalo (a,\infty) (exceto talvez em pontos isolados) e \lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty (ou ambos 0), então, se existir o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
esse limite (finito ou infinito) é igual ao limite original
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}.
Aqui f(x)=\sqrt{x} e g(x)=\ln x, então a aplicação é válida.

Passo 3

Calcular as derivadas necessárias, passo a passo:
  • Escrever \sqrt{x}=x^{1/2}. A derivada de x^{1/2} é
\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Expliquei: usei a regra da potência \frac{d}{dx}x^{\alpha}=\alpha x^{\alpha-1} com \alpha=\tfrac{1}{2}.
  • A derivada de \ln x é
\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}.
Agora formamos o quociente dessas derivadas (como manda L’Hôpital):
\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\dfrac{1}{x}}.

Passo 4

Simplificar o quociente das derivadas cuidadosamente:
\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\dfrac{1}{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\frac{x}{1}=\frac{x}{2\sqrt{x}}.
Agora simplificar \dfrac{x}{2\sqrt{x}}. Note que x=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}, então
\frac{x}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{2}.
Portanto, pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{\ln x} =\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{2}.

Passo 5

Calcular o limite final: como \sqrt{x}\to\infty quando x\to\infty, divide por 2 só escala, então
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{2}=+\infty.
Logo o limite original diverge para +\infty. Intuição curta: log cresce muito devagar comparado a qualquer potência positiva de x; aqui \sqrt{x} (uma potência) domina \ln x.

Resposta

+\infty

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