(1,5 ponto) Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações que temos do enunciado:
- O numerador é
. Quando temos . - O denominador é
. Quando temos .
Portanto a expressão tem a forma indeterminada. A resolução começa a partir disso.
Passo 2
Escolha do método: como temos a forma
e as funções envolvidas (
e
) são diferenciáveis para
, uma maneira direta e rigorosa é aplicar a Regra de L’Hôpital. Vou explicar de forma simples o que essa regra diz:
- Se
e são diferenciáveis em um intervalo (exceto talvez em pontos isolados) e (ou ambos 0), então, se existir o limite
esse limite (finito ou infinito) é igual ao limite original
Aqui
e
, então a aplicação é válida.
Passo 3
Calcular as derivadas necessárias, passo a passo:
- Escrever
. A derivada de é
Expliquei: usei a regra da potência
com
.
- A derivada de
é
Agora formamos o quociente dessas derivadas (como manda L’Hôpital):
Passo 4
Simplificar o quociente das derivadas cuidadosamente:
Agora simplificar
. Note que
, então
Portanto, pela regra de L’Hôpital,
Passo 5
Calcular o limite final: como
quando
, divide por
só escala, então
Logo o limite original diverge para
. Intuição curta: log cresce muito devagar comparado a qualquer potência positiva de
; aqui
(uma potência) domina
.