( 1,0 - ponto) Determine o cocficiente do termo independente de x , no desenvolvimento binomial de
Passo 1
O enunciado pede: determinar o coeficiente do termo independente de
(ou seja, o coeficiente do termo em que a potência de
é zero) no desenvolvimento de
Informações dadas: a expressão é uma potência binomial de expoente
envolvendo as potências
e
. Não há mais informações externas.
Passo 2
Vamos usar o Teorema Binomial, que diz que para inteiro não negativo
e quaisquer
,
Aqui
(lido “n escolhe k”) é o coeficiente binomial dado por
ou, quando for mais prático, por simetria
. Exemplo rápido:
. (Mostrei isso agora porque vamos usar esse cálculo.)
Passo 3
Aplique o Teorema Binomial com
e
. O termo geral (para um dado
) é
Agora simplificamos as potências de
. Primeiro,
E
Multiplicando as duas partes obtemos a potência total de
:
Portanto o termo geral é
Passo 4
Queremos o termo independente de
, ou seja, a potência de
igual a zero:
Resolve-se essa equação passo a passo:
O valor
é inteiro e está no intervalo
, então existe exatamente um termo no somatório que é independente de
: o termo com
.
Passo 5
Calculamos o coeficiente desse termo substituindo
no fator multiplicativo (sem a potência de
):
Usamos
e
. Logo
Pronto: o sinal é positivo e o valor é
.
Resposta
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