( 1,0 - ponto) Determine o cocficiente do termo independente de x , no desenvolvimento binomial de \left(\frac{1}{x^{2}}-\sqrt[4]{x}\right)^{18}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o coeficiente do termo independente de x (ou seja, o coeficiente do termo em que a potência de x é zero) no desenvolvimento de
\left(\frac{1}{x^{2}}-\sqrt[4]{x}\right)^{18}.
Informações dadas: a expressão é uma potência binomial de expoente 18 envolvendo as potências x^{-2} e x^{1/4}. Não há mais informações externas.

Passo 2

Vamos usar o Teorema Binomial, que diz que para inteiro não negativo n e quaisquer a,b,
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}.
Aqui \binom{n}{k} (lido “n escolhe k”) é o coeficiente binomial dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
ou, quando for mais prático, por simetria \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}. Exemplo rápido: \binom{18}{16}=\binom{18}{2}=\dfrac{18\cdot17}{2}=153. (Mostrei isso agora porque vamos usar esse cálculo.)

Passo 3

Aplique o Teorema Binomial com a=\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2} e b=-\sqrt[4]{x}=-x^{1/4}. O termo geral (para um dado k) é
\binom{18}{k}\bigl(x^{-2}\bigr)^{18-k}\bigl(-x^{1/4}\bigr)^{k}.
Agora simplificamos as potências de x. Primeiro,
\bigl(x^{-2}\bigr)^{18-k}=x^{-2(18-k)}=x^{-36+2k}.
E
\bigl(-x^{1/4}\bigr)^{k}=(-1)^{k}x^{k/4}.
Multiplicando as duas partes obtemos a potência total de x:
x^{-36+2k}\cdot x^{k/4}=x^{-36+\left(2k+\dfrac{k}{4}\right)}=x^{-36+\dfrac{9k}{4}}.
Portanto o termo geral é
\binom{18}{k}(-1)^{k}x^{-36+\dfrac{9k}{4}}.

Passo 4

Queremos o termo independente de x, ou seja, a potência de x igual a zero:
-36+\dfrac{9k}{4}=0.
Resolve-se essa equação passo a passo:
\dfrac{9k}{4}=36,
9k=36\cdot4=144,
k=\dfrac{144}{9}=16.
O valor k=16 é inteiro e está no intervalo 0\le k\le18, então existe exatamente um termo no somatório que é independente de x: o termo com k=16.

Passo 5

Calculamos o coeficiente desse termo substituindo k=16 no fator multiplicativo (sem a potência de x):
\text{coeficiente}=\binom{18}{16}(-1)^{16}.
Usamos \binom{18}{16}=\binom{18}{2}=\dfrac{18\cdot17}{2}=153 e (-1)^{16}=1. Logo
\text{coeficiente}=153\cdot 1=153.
Pronto: o sinal é positivo e o valor é 153.

Resposta

153

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