( 1,0 - ponto) Calcule o valor da soma dos coeficientes do desenvolvimento binomial de
Passo 1
O enunciado pede: "Calcule o valor da soma dos coeficientes do desenvolvimento binomial de
,
".
Informações dadas: a expressão é e o expoente é
(um número ímpar). A tarefa é obter a soma de todos os coeficientes do polinômio resultante quando expandido.
Informações dadas: a expressão é
Passo 2
O que significa “soma dos coeficientes”?
Se um polinômio em e
tem a forma
, então a soma dos coeficientes é
. Uma maneira simples de obter essa soma é avaliar o polinômio em
e
, pois
para todo
. Assim:
Se um polinômio em
Exemplo rápido e intuitivo: para
, a soma dos coeficientes é
, que é exatamente o valor em
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, calculamos o polinômio em
e
:
Agora simplificamos dentro do parêntese:
Portanto
Passo 4
Interpretando a potência: como
é ímpar, o sinal permanece negativo. Podemos reescrever a potência de forma explícita:
Essa é a soma dos coeficientes.
Passo 5
(Verificação alternativa rápida usando o teorema binomial) — expandindo com o teorema binomial, o termo genérico é
logo o coeficiente (numérico) de
é
Somando sobre
obtemos
confirmando o resultado anterior.