( 1,0 - ponto) Calcule o valor da soma dos coeficientes do desenvolvimento binomial de
\left(\frac{x}{4}-\frac{3 y}{4}\right)^{2 n+1}, \quad n \in N

Passo 1

O enunciado pede: "Calcule o valor da soma dos coeficientes do desenvolvimento binomial de \left(\dfrac{x}{4}-\dfrac{3 y}{4}\right)^{2 n+1}, \;n\in\mathbb{N}".
Informações dadas: a expressão é \left(\dfrac{x}{4}-\dfrac{3 y}{4}\right)^{2 n+1} e o expoente é \;2n+1 (um número ímpar). A tarefa é obter a soma de todos os coeficientes do polinômio resultante quando expandido.

Passo 2

O que significa “soma dos coeficientes”?
Se um polinômio em x e y tem a forma \sum a_{i,j} x^i y^j, então a soma dos coeficientes é \sum a_{i,j}. Uma maneira simples de obter essa soma é avaliar o polinômio em x=1 e y=1, pois 1^i 1^j=1 para todo i,j. Assim:
\text{soma dos coeficientes} = \text{valor do polinômio em }(x,y)=(1,1).ô
Exemplo rápido e intuitivo: para ax+by, a soma dos coeficientes é a+b, que é exatamente o valor em (1,1).

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, calculamos o polinômio em x=1 e y=1:
\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{4}\right)^{2n+1}.
Agora simplificamos dentro do parêntese:
\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}.
Portanto
\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{4}\right)^{2n+1}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{2n+1}.

Passo 4

Interpretando a potência: como 2n+1 é ímpar, o sinal permanece negativo. Podemos reescrever a potência de forma explícita:
\left(-\frac{1}{2}\right)^{2n+1} = -\left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1} = -\frac{1}{2^{2n+1}}.
Essa é a soma dos coeficientes.

Passo 5

(Verificação alternativa rápida usando o teorema binomial) — expandindo com o teorema binomial, o termo genérico é
\binom{2n+1}{k}\left(\frac{x}{4}\right)^{2n+1-k}\left(-\frac{3y}{4}\right)^k,
logo o coeficiente (numérico) de x^{2n+1-k}y^k é
\binom{2n+1}{k}\frac{(-3)^k}{4^{2n+1}}.
Somando sobre k=0,\dots,2n+1 obtemos
\frac{1}{4^{2n+1}}\sum_{k=0}^{2n+1}\binom{2n+1}{k}(-3)^k = \frac{1}{4^{2n+1}}(1+(-3))^{2n+1} = \frac{(-2)^{2n+1}}{4^{2n+1}} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{2n+1},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

-\dfrac{1}{2^{2n+1}}

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