Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
(c) pelo menos um membro da comissão seja matemático?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Temos um grupo com 20 pessoas.
  • Dessas, 5 são matemáticos e, portanto, 15 não são matemáticos.
  • Vamos formar comissões de 10 pessoas.
    Pergunta: de quantas maneiras podemos formar uma comissão de 10 pessoas de modo que pelo menos um membro da comissão seja matemático?

Passo 2

Estratégia (ideia principal usada): em contagem, é muito comum usar o princípio do complemento quando a condição “pelo menos um” aparece. Em vez de contar diretamente todas as comissões que têm pelo menos um matemático (o que exigiria somar vários casos), contamos o total de comissões possíveis e subtraímos as comissões que têm zero matemáticos. Assim:
\text{nº desejado} = \binom{20}{10} - \binom{15}{10}.º
Aqui \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k elementos entre n sem ordem e sem repetição, e a fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é o produto de todos os inteiros de 1 até n.
Explicação do porquê: \binom{20}{10} conta todas as comissões de 10 pessoas tiradas das 20. \binom{15}{10} conta todas as comissões formadas apenas com as 15 não-matemáticas (ou seja, sem nenhum matemático). Subtraindo, sobra justamente as comissões que têm pelo menos um matemático.

Passo 3

Calcular \binom{15}{10}. Usamos a simetria \binom{15}{10}=\binom{15}{5} (pois escolher 10 de 15 é equivalente a escolher os 5 que ficam de fora). Agora:
\binom{15}{5}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Calcule passo a passo:
15\cdot14=210,\quad 210\cdot13=2730,\quad 2730\cdot12=32760,\quad 32760\cdot11=360360.
Denominador 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120. Portanto
\binom{15}{10}= \frac{360360}{120}=3003.

Passo 4

Calcular \binom{20}{10}. Usamos a forma
\binom{20}{10}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Fazemos cancelamentos inteligentes: divida pares óbvios
\frac{20}{10}=2,\\ \frac{18}{9}=2,\\ \frac{16}{8}=2,\\ \frac{14}{7}=2,\\ \frac{12}{6}=2,\\ \frac{15}{5}=3.
Depois desses cancelamentos, o produto no numerador reduz-se a
2\cdot19\cdot2\cdot17\cdot2\cdot3\cdot2\cdot13\cdot2\cdot11.
Agrupando as potências de 2 (são cinco 2's) e o 3:
2^5\cdot 3 \cdot 19 \cdot 17 \cdot 13 \cdot 11 = 32\cdot3\cdot19\cdot17\cdot13\cdot11.
Calcule em etapas:
32\cdot3=96,\quad 96\cdot19=1824,\quad 1824\cdot17=31008,
31008\cdot13=403104,\quad 403104\cdot11=4434144.
Restou dividir pelos denominadores não usados; como já usamos os fatores 10,9,8,7,6,5, faltam dividir por 4\cdot3\cdot2\cdot1=24. Então
\binom{20}{10}=\frac{4434144}{24}=184756.
(Esse é um valor clássico, mas aqui mostrei o cálculo por cancelamento.)

Passo 5

Aplicando a fórmula do Passo 2:
\text{nº desejado}=\binom{20}{10}-\binom{15}{10}=184756-3003.º
Fazendo a subtração:
184756-3003=181753.

Resposta

181753

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