Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
(c) pelo menos um membro da comissão seja matemático?
(c) pelo menos um membro da comissão seja matemático?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Temos um grupo com
pessoas. - Dessas,
são matemáticos e, portanto, não são matemáticos. - Vamos formar comissões de
pessoas.
Pergunta: de quantas maneiras podemos formar uma comissão depessoas de modo que pelo menos um membro da comissão seja matemático?
Passo 2
Estratégia (ideia principal usada): em contagem, é muito comum usar o princípio do complemento quando a condição “pelo menos um” aparece. Em vez de contar diretamente todas as comissões que têm pelo menos um matemático (o que exigiria somar vários casos), contamos o total de comissões possíveis e subtraímos as comissões que têm zero matemáticos. Assim:
Aqui
é o número de maneiras de escolher
elementos entre
sem ordem e sem repetição, e a fórmula é
onde
(fatorial de
) é o produto de todos os inteiros de
até
.
Explicação do porquê: conta todas as comissões de
pessoas tiradas das
.
conta todas as comissões formadas apenas com as
não-matemáticas (ou seja, sem nenhum matemático). Subtraindo, sobra justamente as comissões que têm pelo menos um matemático.
Explicação do porquê:
Passo 3
Calcular
. Usamos a simetria
(pois escolher
de
é equivalente a escolher os
que ficam de fora). Agora:
Calcule passo a passo:
Denominador
. Portanto
Passo 4
Calcular
. Usamos a forma
Fazemos cancelamentos inteligentes: divida pares óbvios
Depois desses cancelamentos, o produto no numerador reduz-se a
Agrupando as potências de
(são cinco
's) e o
:
Calcule em etapas:
Restou dividir pelos denominadores não usados; como já usamos os fatores
, faltam dividir por
. Então
(Esse é um valor clássico, mas aqui mostrei o cálculo por cancelamento.)
Passo 5
Aplicando a fórmula do Passo 2:
Fazendo a subtração: