(1 ponto) Se f(z)=(z+1)^3z, determine as funções reais u(x, y) e v(x, y) tais que f(z)=u(x, y)+ i v(x, y).

Passo 1

O enunciado pede para escrever
f(z)=(z+1)^3z
em termos de z=x+iy, separando a parte real u(x,y) e a parte imaginária v(x,y).
Conteúdo: operações com números complexos (expansão, divisão e racionalização do denominador).

Passo 2

Primeiro expandimos o numerador (z+1)^3. Seja z+1=(x+1)+iy. Então, usando a fórmula de cubo,
(z+1)^3 = A + iB
com
A = (x+1)^3 ;-;3(x+1),y^2, B = 3(x+1)^2,y ;-;y^3

Passo 3

Agora dividimos (A+iB) por z=x+iy. Racionalizando:
A+iBx+iy = (A+iB)(x-iy)x^2+y^2 = A,x + B,yx^2+y^2 ;+; i;B,x - A,yx^2+y^2
Portanto
u(x,y)=A,x + B,yx^2+y^2, v(x,y)=B,x - A,yx^2+y^2

Passo 4

Bastaplugarmos as expressões de A e B.
Expandindo A e B:
A = x^3+3x^2+3x+1 ;-;3x,y^2 ;-;3y^2, B = 3x^2y+6xy+3y ;-;y^3
Calculando os numeradores:
A,x + B,y = x^4+3x^3+3x^2 + x +3x,y^2+3y^2 - y^4,
B,x - A,y = 2x^3y+3x^2y+2x,y^3+3y^3 - y
Logo
u(x,y)= x^4+3x^3+3x^2 + x +3x,y^2+3y^2 - y^4x^2+y^2,
v(x,y)= 2x^3y+3x^2y+2x,y^3+3y^3 - yx^2+y^2

Resposta

u(x,y) =x^4+3x^3+3x^2 + x +3x,y^2+3y^2 - y^4x^2+y^2, v(x,y) =2x^3y+3x^2y+2x,y^3+3y^3 - yx^2+y^2

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