(1 ponto) Encontre o valor de (-1+raiz3 i)^2025.

Passo 1

Temos que calcular (-1+raiz3,i)^2025. Para isso vamos usar a forma polar de um número complexo e o Teorema de Moivre, que afirma que
(r(costheta + isintheta))^n = r^nl(cos(ntheta)+isin(ntheta)r)

Passo 2

Calculemos o módulo e o argumento de z=-1+raiz3,i:
|z|=raiz(-1)^2+(raiz3)^2=raiz1+3=2
Como x=-1<0 e y=raiz3>0, o ponto está no segundo quadrante e
arg(z)=pi-pi3=2pi3

Passo 3

Em forma polar fica
z=2l(cos2pi3+isin2pi3r)
Aplicando Moivre para a potência 2025,
z^2025=2^2025l[cosl(2025cdot2pi3r)+isinl(2025cdot2pi3r)r]

Passo 4

Observe que
2025cdot2pi3=1350pi=675cdot2pi,
um múltiplo inteiro de 2pi. Logo
cos(1350pi)=1, sin(1350pi)=0,
e portanto
z^2025=2^2025cdot1=2^2025

Resposta

2^2025

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