( \mathbf{3} pontos) Explique por que a tensão em um indutor está adiantada em relação à corrente em 90^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que a tensão em um indutor está adiantada em relação à corrente em 90^\circ.
Informações implícitas que vamos usar: o indutor é ideal, a análise é para regime senoidal (sinais \emph{sinusoidais} no tempo) e usa-se a convenção passiva usual (corrente entra no terminal positivo da tensão). Nada mais foi fornecido pelo enunciado.

Passo 2

Começamos pela lei que relaciona tensão e corrente num indutor ideal. Essa é uma fórmula básica e precisa ser entendida:
v(t)=L\,\frac{di(t)}{dt},
onde:
  • v(t) é a tensão instantânea no indutor (volts),
  • i(t) é a corrente instantânea que atravessa o indutor (ampères),
  • L é a indutância (henry), uma constante positiva que mede quanto fluxo magnético é gerado por uma dada corrente,
  • \dfrac{d i(t)}{dt} é a derivada temporal da corrente, ou seja, a taxa de variação da corrente no tempo.
Explicação intuitiva dessa fórmula: um indutor cria fluxo magnético proporcional à corrente; uma variação desse fluxo induz uma tensão proporcional à velocidade dessa variação (lei de Faraday/Lenz). Por isso a tensão está ligada à derivada da corrente.

Passo 3

Agora vamos ver o que a operação de derivar faz em sinais senoidais — essa é a chave do argumento. Suponha uma corrente senoidal genérica:
i(t)=I_m\sin(\omega t+\varphi),
onde:
  • I_m é a amplitude da corrente,
  • \omega é a pulsação angular ( \omega=2\pi f),
  • \varphi é a fase inicial.
Calcule a derivada:
\frac{d i(t)}{dt}=\omega I_m\cos(\omega t+\varphi).
Reescrevendo o cosseno como seno deslocado em +\tfrac{\pi}{2} (porque \cos x=\sin(x+\tfrac{\pi}{2})):
\frac{d i(t)}{dt}=\omega I_m\sin\Big(\omega t+\varphi+\tfrac{\pi}{2}\Big).
Agora use a relação v(t)=L\,\dfrac{di}{dt}:
v(t)=L\,\omega I_m\sin\Big(\omega t+\varphi+\tfrac{\pi}{2}\Big).
Se definirmos a amplitude da tensão como V_m=\omega L I_m, temos
v(t)=V_m\sin\Big(\omega t+\varphi+\tfrac{\pi}{2}\Big).
Comparando as duas expressões, i(t)=I_m\sin(\omega t+\varphi) e v(t)=V_m\sin(\omega t+\varphi+\tfrac{\pi}{2}), vemos que a tensão é a mesma senoide que a corrente, mas avançada em fase de \tfrac{\pi}{2} radianos, isto é, 90^\circ.

Passo 4

Interpretação do que significa “adiantada em 90^\circ”: dizer que a tensão está adiantada significa que, ao longo do tempo, os máximos (picos), zeros crescentes, etc., da tensão ocorrem antes dos correspondentes da corrente. Um deslocamento de fase de +\tfrac{\pi}{2} radianos equivale exatamente a um quarto de período à frente.

Passo 5

Outra forma compacta (ferramenta muito usada em circuito senoidal) é usar fasores/operadores complexos. Representando a corrente por um fasor I tal que i(t)=\Re\{I e^{j\omega t}\}, a derivada no domínio das fasores corresponde a multiplicar por j\omega. Assim:
V = j\omega L\,I.
Aqui j representa uma rotação de +90^\circ no plano complexo (porque j=e^{j\pi/2}). Portanto o fasor da tensão é o fasor da corrente multiplicado por j, isto é, rotacionado +90^\circ: tensão adiantada de 90^\circ em relação à corrente. O impedância do indutor é
Z_L = j\omega L,
o fator j é a razão direta do avanço de fase.

Passo 6

Intuição física, para fixar a ideia: o indutor “resiste” à variação de corrente. Para fazer a corrente aumentar, é necessária uma tensão que gere a variação do fluxo magnético; essa tensão aparece primeiro para forçar a mudança, e a corrente só aumenta depois. Por isso, em sinais alternados, a tensão deve atingir seu pico antes da corrente — daí o avanço de 90^\circ. Em termos de energia, o indutor armazena energia no campo magnético quando a corrente cresce; a tensão aparece como consequência da necessidade de mudar esse campo.

Passo 7

Exemplo numérico curtinho para ver no tempo: tome i(t)=2\sin(100t) A e L=0,01 H. Então
\frac{di}{dt}=200\cos(100t)=200\sin\Big(100t+\tfrac{\pi}{2}\Big),
e
v(t)=L\frac{di}{dt}=0,01\cdot 200\sin\Big(100t+\tfrac{\pi}{2}\Big)=2\sin\Big(100t+\tfrac{\pi}{2}\Big)\\ \text{V}.
Aqui a tensão tem amplitude 2 V e é exatamente a mesma forma da corrente deslocada em +\tfrac{\pi}{2}: tensão adiantada em 90^\circ.

Resposta

Porque a lei do indutor é v(t)=L\,\dfrac{di(t)}{dt}; para i(t)=I_m\sin(\omega t+\varphi) tem-se v(t)=\omega L I_m\sin\big(\omega t+\varphi+\tfrac{\pi}{2}\big), ou seja, a tensão é a mesma senoide deslocada de +\tfrac{\pi}{2} ( 90^\circ ) em relação à corrente.

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