( 1,0 ponto) Determine o raio e o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
Passo 1
O enunciado dá a série de potências centrada em
:
O que é pedido:
- Determinar o raio de convergência.
- Determinar o intervalo de convergência (no eixo real, ou seja, quais
fazem a série convergir).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Centro da série:
. - Coeficientes da série em potências de
: para .
Passo 2
Qual método usar para achar o raio
? Uma forma direta e padrão é usar a fórmula da raiz (Cauchy-Hadamard) ou o teste da razão. Vou usar a fórmula da raiz porque aqui é fácil calcular
.
Lembrete da fórmula (explicando bem): para uma série de potências
o raio de convergência
é dado por
Explicando as peças:
é a raiz enésima do módulo do coeficiente;
é o limite superior dos valores quando
(aqui, como teremos um limite simples, o
coincide com o limite). A razão por trás disso é técnica, mas na prática serve para transformar o comportamento exponencial dos coeficientes numa condição simples para
.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos nossos coeficientes
. Calcular primeiro
Agora precisamos do limite quando
de
. Use este truque simples: tomar logaritmo. Para
,
Como
quando
, conclui-se que
e, portanto,
. Logo
Passo 4
Agora aplico a fórmula do raio:
Interpretação prática: a série converge absolutamente para todos
tais que
, e diverge para
. Faltam verificar os pontos na fronteira
, ou seja
, que são
e
.
Passo 5
Testar o endpoint
. Substituir na série:
então a série vira
Esta é a série harmônica, conhecida por divergir. Conclusão: a série diverge em
.
Passo 6
Testar o endpoint
. Substituir na série:
então a série vira
Esta é a série alternada com termos de módulo
. Verificações do critério de Leibniz (teste das séries alternadas):
- Os termos
formam uma sequência positiva, monotonamente decrescente para . -
quando .
Logo, pela série alternada (Leibniz), a série converge (condicionalmente, pois não converge absolutamente:diverge). Portanto a série converge em .
Passo 7
Resumo dos testes finais (sem repetir o enunciado da resposta final): a série converge para
; no endpoint
diverge; no endpoint
converge (condicionalmente).
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: