( 1,0 ponto) Determine o raio e o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 3^{n}}(x-2)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em 2:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\cdot 3^{n}}(x-2)^{n}.
O que é pedido:
  • Determinar o raio de convergência.
  • Determinar o intervalo de convergência (no eixo real, ou seja, quais x fazem a série convergir).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Centro da série: c=2.
  • Coeficientes da série em potências de (x-2): a_{n}=\dfrac{1}{n\cdot 3^{n}} para n\ge 1.

Passo 2

Qual método usar para achar o raio R? Uma forma direta e padrão é usar a fórmula da raiz (Cauchy-Hadamard) ou o teste da razão. Vou usar a fórmula da raiz porque aqui é fácil calcular \lim_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}.
Lembrete da fórmula (explicando bem): para uma série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n
o raio de convergência R é dado por
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Explicando as peças: |a_n|^{1/n} é a raiz enésima do módulo do coeficiente; \limsup é o limite superior dos valores quando n\to\infty (aqui, como teremos um limite simples, o \limsup coincide com o limite). A razão por trás disso é técnica, mas na prática serve para transformar o comportamento exponencial dos coeficientes numa condição simples para x.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos nossos coeficientes a_n=\dfrac{1}{n\cdot 3^{n}}. Calcular primeiro
|a_n|^{1/n}=\left(\frac{1}{n\cdot 3^{n}}\right)^{1/n}=\left(\frac{1}{n}\right)^{1/n}\cdot\left(\frac{1}{3^{n}}\right)^{1/n}=\left(\frac{1}{n}\right)^{1/n}\cdot\frac{1}{3}.
Agora precisamos do limite quando n\to\infty de \left(\dfrac{1}{n}\right)^{1/n}. Use este truque simples: tomar logaritmo. Para b_n=\left(\frac{1}{n}\right)^{1/n},
\ln b_n = \frac{1}{n}\ln\!\left(\frac{1}{n}\right)=-\frac{\ln n}{n}.
Como \dfrac{\ln n}{n}\to 0 quando n\to\infty, conclui-se que \ln b_n\to 0 e, portanto, b_n\to e^{0}=1. Logo
\lim_{n\to\infty}|a_n|^{1/n} = 1\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Agora aplico a fórmula do raio:
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}}=\frac{1}{1/3}=3.
Interpretação prática: a série converge absolutamente para todos x tais que |x-2|<3, e diverge para |x-2|>3. Faltam verificar os pontos na fronteira |x-2|=3, ou seja x=2\pm 3, que são x=5 e x=-1.

Passo 5

Testar o endpoint x=5. Substituir na série:
(x-2)^{n}=(5-2)^{n}=3^{n},
então a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot 3^{n}}\cdot 3^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Esta é a série harmônica, conhecida por divergir. Conclusão: a série diverge em x=5.

Passo 6

Testar o endpoint x=-1. Substituir na série:
(x-2)^{n}=(-1-2)^{n}=(-3)^{n},
então a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot 3^{n}}\cdot (-3)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}.
Esta é a série alternada com termos de módulo \dfrac{1}{n}. Verificações do critério de Leibniz (teste das séries alternadas):
  • Os termos \dfrac{1}{n} formam uma sequência positiva, monotonamente decrescente para n\ge 1.
  • \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty.
    Logo, pela série alternada (Leibniz), a série converge (condicionalmente, pois não converge absolutamente: \sum 1/n diverge). Portanto a série converge em x=-1.

Passo 7

Resumo dos testes finais (sem repetir o enunciado da resposta final): a série converge para |x-2|<3; no endpoint x=5 diverge; no endpoint x=-1 converge (condicionalmente).

Resposta

Raio de convergência: R=3
Intervalo de convergência: [-1,5)

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