18- Duas partículas estão fixas em um eixo
: partícula 1 de carga
-20 cm e partícula 2 de carga
em
. Determine a coordenada do eixo na qual o campo elétrico resultante produzido pelas partículas é igual a zero.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
-
Dados (pegos do enunciado):
- Partícula 1: carga
localizada em . - Partícula 2: carga
localizada em .
- Partícula 1: carga
-
Conversão de unidades (para trabalhar de forma padrão em SI):
-
. -
. - Escrevendo
em termos de : .
-
-
O que a questão pede: determinar a coordenada
ao longo do eixo em que o campo elétrico resultante produzido pelas duas partículas é igual a zero (ou seja, ).
Passo 2
Conhecimentos essenciais (fórmula e orientação física) — mini-aula prática.
- Campo elétrico de uma carga pontual: a magnitude do campo elétrico gerado por uma carga pontual
a uma distância é dada por
onde
é a constante eletrostática (
). O sentido do campo depende do sinal da carga: para uma carga positiva o campo aponta “afastando-se” da carga; para uma carga negativa o campo aponta “apontando para” a carga.
-
No eixo
podemos tratar o campo como uma grandeza em uma dimensão com sinal: escolher o sentido positivo para a direita. Assim, o campo produzido por cada carga em um ponto terá sinal positivo (direção para a direita) ou negativo (para a esquerda) conforme a regra acima. -
Para que o campo total seja zero, os campos produzidos pelas duas cargas no ponto considerado devem ter a mesma magnitude e sentidos opostos.
Passo 3
Análise das regiões possíveis (para saber onde procurar a solução).
As duas cargas estão em
(
) e
(
). Há três regiões no eixo para testar:
-
Região A:
(à esquerda das duas cargas). - Em pontos nessa região, o campo de
(positiva) aponta para a esquerda e o campo de (negativa) aponta para a direita. Logo, os campos têm sentidos opostos → possível anulação.
- Em pontos nessa região, o campo de
-
Região B:
(entre as cargas). - Em pontos entre as cargas, o campo de
(positiva) aponta para a direita e o campo de (negativa) também aponta para a direita (porque o campo de uma carga negativa aponta em direção à carga). Logo, os campos têm o mesmo sentido → não podem se anular. Portanto, nenhuma solução nesta região.
- Em pontos entre as cargas, o campo de
-
Região C:
(à direita das duas cargas). - Em pontos nessa região, o campo de
(positiva) aponta para a direita e o campo de (negativa) aponta para a esquerda. Sentidos opostos → possível anulação.
- Em pontos nessa região, o campo de
Conclusão do passo: só faz sentido procurar solução nas Regiões A e C.
Passo 4
Equacionamento geral e simplificação (montando a equação de equilíbrio de magnitudes).
Seja
a coordenada do ponto onde
. Em qualquer região onde os campos têm sentidos opostos podemos igualar as magnitudes:
O fator
e o sinal de
e
não importam aqui porque usamos as magnitudes; podemos cancelar
e escrever, usando
,
Tomando raiz positiva dos dois lados (pois estamos igualando magnitudes positivas),
Agora aplicamos esta relação separadamente para as regiões A e C (lembrando
e
).
Passo 5
Resolver para a Região A (
).
Nessa região,
é negativo, mas usamos o valor absoluto:
E
também é negativo, então
A relação
vira
Agora resolvendo:
Isso satisfaz a condição de estar na Região A (pois
). Então é uma solução válida.
Passo 6
Verificação da Região C (
) para confirmar que não há outra solução.
Nessa região ambos
e
são positivos, logo a relação sem sinais absolutos é
Resolvendo:
isto é
, que não pertence a Região C. Portanto não há solução válida em
.
Conclui-se que a única posição do eixo
onde o campo elétrico resultante é zero é
.
Passo 7
Checagem rápida (raciocínio físico para ficar tranquilo).
- Em
a distância até é e até é . A carga tem magnitude 4 vezes maior que , e a distância até é o dobro da distância até . Como o campo varia como , isso dá exatamente versus , que se igualam — bom sinal de que nossa solução faz sentido físico.