18- Duas partículas estão fixas em um eixo x : partícula 1 de carga q_{1}=+2,1 \times 10^{-8} \mathrm{Cem} x -20 cm e partícula 2 de carga q_{2}=-4,00 q_{1} em x=60 \mathrm{~cm}. Determine a coordenada do eixo na qual o campo elétrico resultante produzido pelas partículas é igual a zero.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Partícula 1: carga \,q_{1}=+2{,}1\times10^{-8}\\ \mathrm{C}\, localizada em x_{1}=-20\\ \mathrm{cm}.
    • Partícula 2: carga \,q_{2}=-4{,}00\,q_{1}\, localizada em x_{2}=60\\ \mathrm{cm}.
  • Conversão de unidades (para trabalhar de forma padrão em SI):
    • x_{1}=-20\\ \mathrm{cm}=-0{,}20\\ \mathrm{m}.
    • x_{2}=60\\ \mathrm{cm}=0{,}60\\ \mathrm{m}.
    • Escrevendo q_{2} em termos de q_{1}: q_{2}=-4{,}00\,q_{1}=-4\,q_{1}.
  • O que a questão pede: determinar a coordenada x ao longo do eixo x em que o campo elétrico resultante produzido pelas duas partículas é igual a zero (ou seja, \vec{E}_{\text{total}}=0).

Passo 2

Conhecimentos essenciais (fórmula e orientação física) — mini-aula prática.
  • Campo elétrico de uma carga pontual: a magnitude do campo elétrico gerado por uma carga pontual q a uma distância r é dada por
E=\frac{k\,|q|}{r^{2}},
onde k é a constante eletrostática ( k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}). O sentido do campo depende do sinal da carga: para uma carga positiva o campo aponta “afastando-se” da carga; para uma carga negativa o campo aponta “apontando para” a carga.
  • No eixo x podemos tratar o campo como uma grandeza em uma dimensão com sinal: escolher o sentido positivo para a direita. Assim, o campo produzido por cada carga em um ponto x terá sinal positivo (direção para a direita) ou negativo (para a esquerda) conforme a regra acima.
  • Para que o campo total seja zero, os campos produzidos pelas duas cargas no ponto considerado devem ter a mesma magnitude e sentidos opostos.

Passo 3

Análise das regiões possíveis (para saber onde procurar a solução).
As duas cargas estão em x_{1}=-0{,}20\\ \mathrm{m} ( q_{1}>0) e x_{2}=0{,}60\\ \mathrm{m} ( q_{2}<0). Há três regiões no eixo para testar:
  • Região A: x< -0{,}20\\ \mathrm{m} (à esquerda das duas cargas).
    • Em pontos nessa região, o campo de q_{1} (positiva) aponta para a esquerda e o campo de q_{2} (negativa) aponta para a direita. Logo, os campos têm sentidos opostos → possível anulação.
  • Região B: -0{,}20\\ \mathrm{m} < x < 0{,}60\\ \mathrm{m} (entre as cargas).
    • Em pontos entre as cargas, o campo de q_{1} (positiva) aponta para a direita e o campo de q_{2} (negativa) também aponta para a direita (porque o campo de uma carga negativa aponta em direção à carga). Logo, os campos têm o mesmo sentido → não podem se anular. Portanto, nenhuma solução nesta região.
  • Região C: x>0{,}60\\ \mathrm{m} (à direita das duas cargas).
    • Em pontos nessa região, o campo de q_{1} (positiva) aponta para a direita e o campo de q_{2} (negativa) aponta para a esquerda. Sentidos opostos → possível anulação.
Conclusão do passo: só faz sentido procurar solução nas Regiões A e C.

Passo 4

Equacionamento geral e simplificação (montando a equação de equilíbrio de magnitudes).
Seja x a coordenada do ponto onde \vec{E}_{\text{total}}=0. Em qualquer região onde os campos têm sentidos opostos podemos igualar as magnitudes:
\frac{k\,|q_{1}|}{(x-x_{1})^{2}}=\frac{k\,|q_{2}|}{(x-x_{2})^{2}}.
O fator k e o sinal de q_{1} e q_{2} não importam aqui porque usamos as magnitudes; podemos cancelar k e escrever, usando |q_{2}|=4|q_{1}|,
\frac{|q_{1}|}{(x-x_{1})^{2}}=\frac{4|q_{1}|}{(x-x_{2})^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{(x-x_{1})^{2}}=\frac{4}{(x-x_{2})^{2}}.
Tomando raiz positiva dos dois lados (pois estamos igualando magnitudes positivas),
\frac{1}{|x-x_{1}|}=\frac{2}{|x-x_{2}|} \quad\Longrightarrow\quad |x-x_{2}|=2\,|x-x_{1}|.
Agora aplicamos esta relação separadamente para as regiões A e C (lembrando x_{1}=-0{,}20\\ \mathrm{m} e x_{2}=0{,}60\\ \mathrm{m}).

Passo 5

Resolver para a Região A ( x< -0{,}20\\ \mathrm{m}).
Nessa região, x-x_{1}=x-(-0{,}20)=x+0{,}20 é negativo, mas usamos o valor absoluto:
|x-x_{1}|=-(x+0{,}20)=-x-0{,}20.
E x-x_{2}=x-0{,}60 também é negativo, então
|x-x_{2}|=-(x-0{,}60)=-x+0{,}60.
A relação |x-x_{2}|=2|x-x_{1}| vira
-\,x+0{,}60 = 2(-\,x-0{,}20).
Agora resolvendo:
-\,x+0{,}60 = -2x -0{,}40
\Rightarrow -x + 0{,}60 +2x +0{,}40 = 0
\Rightarrow x + 1{,}00 = 0
\Rightarrow x = -1{,}00\\ \mathrm{m}.
Isso satisfaz a condição de estar na Região A (pois -1{,}00\\ \mathrm{m} < -0{,}20\\ \mathrm{m}). Então é uma solução válida.

Passo 6

Verificação da Região C ( x>0{,}60\\ \mathrm{m}) para confirmar que não há outra solução.
Nessa região ambos x-x_{1}=x+0{,}20 e x-x_{2}=x-0{,}60 são positivos, logo a relação sem sinais absolutos é
x-0{,}60 = 2(x+0{,}20).
Resolvendo:
x-0{,}60 = 2x +0{,}40
\Rightarrow -0{,}60 -0{,}40 = 2x - x
\Rightarrow -1{,}00 = x
isto é x=-1{,}00\\ \mathrm{m}, que não pertence a Região C. Portanto não há solução válida em x>0{,}60\\ \mathrm{m}.
Conclui-se que a única posição do eixo x onde o campo elétrico resultante é zero é x=-1{,}00\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Checagem rápida (raciocínio físico para ficar tranquilo).
  • Em x=-1{,}00\\ \mathrm{m} a distância até q_{1} é |-1{,}00 - (-0{,}20)|=0{,}80\\ \mathrm{m} e até q_{2} é |-1{,}00 - 0{,}60|=1{,}60\\ \mathrm{m}. A carga q_{2} tem magnitude 4 vezes maior que q_{1}, e a distância até q_{2} é o dobro da distância até q_{1}. Como o campo varia como 1/r^{2}, isso dá exatamente 1/(0{,}80)^{2} versus 4/(1{,}60)^{2}, que se igualam — bom sinal de que nossa solução faz sentido físico.

Resposta

\;x=-1{,}00\\ \mathrm{m}

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