1. Teorema de Barbier (Opcional/Desafio): Pesquise e explique por que todas as curvas de largura constante b possuem o mesmo perímetro L=\pi b. Cite o exemplo do Triângulo de Reuleaux.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede: explicar por que todas as curvas convexas de largura constante b têm o mesmo perímetro L=\pi b. Esse resultado é o Teorema de Barbier.
  • Pede também citar o exemplo do Triângulo de Reuleaux (mostrar que ele tem largura b e perímetro \pi b).
Informações importantes que usarei (definições que vêm do enunciado ou são necessárias):
  • "Largura constante b" significa que, para toda direção dada por uma reta (ou, equivalentemente, para todo ângulo \theta), a distância entre duas retas paralelas de suporte da curva, perpendicularas a essa direção, é sempre b.
  • A curva considerada é convexa, fechada e suficientemente regular (podemos usar aproximação por polígonos se for necessário).
  • Vou usar a noção de função de suporte (uma ferramenta padrão para trabalhar com convexos). Não foi dada explicitamente no enunciado, mas é um objeto natural e simples para a prova.

Passo 2

Definição da função de suporte e da largura em função do ângulo (linguagem geométrica clara).
  • Seja u(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta) o versor apontando na direção de ângulo \theta.
  • Defina a função de suporte h(\theta) da curva convexa como
h(\theta)=\max_{x\in C} x\cdot u(\theta),
ou seja, h(\theta) é a distância (assumindo que a origem foi escolhida convenientemente) da origem até a reta de suporte cuja normal é u(\theta). Geometricamente, h(\theta) mede “o quanto a curva se projeta” na direção u(\theta).
  • A largura w(\theta) da curva na direção \theta (distância entre as duas retas de suporte perpendiculares a u(\theta)) pode ser expressa em termos de h como
w(\theta)=h(\theta)+h(\theta+\pi).
Isto vem porque uma reta de suporte na direção \theta tem distância h(\theta) da origem e a reta oposta (normal -u(\theta)) tem distância h(\theta+\pi), então a separação é a soma.
Observação prática: para uma curva de largura constante b vale
w(\theta)\equiv b\quad\text{para todo }\theta.

Passo 3

Expressar a curva pelo ângulo da normal e relacionar o comprimento de arco com a função de suporte (uma fórmula chave).
(Explicação passo a passo, sem pular etapas.)
  • Em cada ponto regular da fronteira convexa existe uma reta suporte com normal u(\theta). Podemos parametizar a curva usando exatamente esse ângulo \theta da normal externa. Em termos vetoriais, existe um ponto da fronteira r(\theta)\in\mathbb{R}^2 cujo produto escalar com u(\theta) é h(\theta):
r(\theta)\cdot u(\theta)=h(\theta).
  • Agora diferencie essa igualdade em relação a \theta. Antes, observe que
u(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta),\qquad u'(\theta)=(-\sin\theta,\cos\theta)=:u_\perp(\theta),
e que u_\perp'(\theta)=-u(\theta).
  • Diferenciando r(\theta)\cdot u(\theta)=h(\theta)
r'(\theta)\cdot u(\theta)+r(\theta)\cdot u'(\theta)=h'(\theta).
Mas r(\theta) está na reta de suporte com normal u(\theta), então r(\theta) é ortogonal a u_\perp(\theta) nos componentes relevantes; a maneira mais prática é construir r(\theta) explicitamente em função de h e de h'. Uma construção clássica (e direta) é:
r(\theta)=h(\theta)\,u(\theta)+h'(\theta)\,u_\perp(\theta).
Essa expressão pode ser verificada tomando o produto escalar com u(\theta):
r(\theta)\cdot u(\theta)=h(\theta)\,u(\theta)\cdot u(\theta)+h'(\theta)\,u_\perp(\theta)\cdot u(\theta)=h(\theta),
porque u_\perp\cdot u=0 e u\cdot u=1. Portanto a expressão é compatível com a definição de h. (Intuição: h(\theta)u(\theta) dá a posição na direção normal e h'(\theta)u_\perp(\theta) desloca ao longo da reta de suporte.)
  • Agora calcule r'(\theta). Usando as derivadas de u e u_\perp:
\begin{aligned} r'(\theta) &=h'(\theta)u(\theta)+h(\theta)u'(\theta)+h''(\theta)u_\perp(\theta)+h'(\theta)u_\perp'(\theta)\\\ &=h'(\theta)u(\theta)+h(\theta)u_\perp(\theta)+h''(\theta)u_\perp(\theta)-h'(\theta)u(\theta)\\\ &=\bigl(h(\theta)+h''(\theta)\bigr)\,u_\perp(\theta). \end{aligned}
Os termos h'(\theta)u(\theta) cancelam. Assim r'(\theta) é paralelo a u_\perp(\theta) e sua norma é
|r'(\theta)|=|h(\theta)+h''(\theta)|.
  • Para uma curva convexa regular a quantidade h(\theta)+h''(\theta) é não negativa, de modo que o elemento de comprimento de arco é
\mathrm{d}s=|r'(\theta)|\,\mathrm{d}\theta=(h(\theta)+h''(\theta))\,\mathrm{d}\theta.
  • Integrando ao longo de toda a curva (ângulo \theta variando de 0 a 2\pi) obtemos o perímetro L:
L=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}s=\int_0^{2\pi}\bigl(h(\theta)+h''(\theta)\bigr)\,\mathrm{d}\theta.
  • A integral do termo h''(\theta) sobre um período se anula (derivadas periódicas têm soma nula):
\int_0^{2\pi} h''(\theta)\,\mathrm{d}\theta = h'(2\pi)-h'(0) = 0.
Logo sobra
L=\int_0^{2\pi} h(\theta)\,\mathrm{d}\theta.
Essa é a fórmula central: o perímetro é a integral da função de suporte ao longo de um período 0 a 2\pi.
(Dica prática: se a curva não for suave, pode-se aproximá-la por polígonos e fazer o mesmo raciocínio por partes; o resultado continua valendo.)

Passo 4

Relacionar a integral da função de suporte com a largura e concluir o Teorema de Barbier.
  • Usando w(\theta)=h(\theta)+h(\theta+\pi), calcule
\int_0^{\pi} w(\theta)\,\mathrm{d}\theta=\int_0^{\pi}\bigl(h(\theta)+h(\theta+\pi)\bigr)\,\mathrm{d}\theta.
Fazendo a mudança de variável u=\theta+\pi na segunda integral, obtemos
\int_0^{\pi} h(\theta+\pi)\,\mathrm{d}\theta=\int_\pi^{2\pi} h(u)\,\mathrm{d}u,
portanto
\int_0^{\pi} w(\theta)\,\mathrm{d}\theta=\int_0^{2\pi} h(\theta)\,\mathrm{d}\theta.
Mas da Passo 3 sabemos que \int_0^{2\pi} h(\theta)\,\mathrm{d}\theta=L. Logo
L=\int_0^{\pi} w(\theta)\,\mathrm{d}\theta.
  • Agora, se a curva tem largura constante b, então w(\theta)\equiv b e a integral é simples:
L=\int_0^{\pi} b\,\mathrm{d}\theta = \pi b.
Isto é exatamente o Teorema de Barbier: todas as curvas convexas de largura b têm perímetro L=\pi b.

Passo 5

Exemplo concreto: Triângulo de Reuleaux (construção, largura e cálculo do perímetro).
  • Construção rápida e visual: comece com um triângulo equilátero de lado b. Em cada vértice constrói-se um arco de círculo de raio b que une os outros dois vértices; repetindo para os três vértices obtém-se uma curva fechada com três arcos iguais — esse é o Triângulo de Reuleaux de largura b.
  • Por que tem largura b? Intuição: em qualquer direção fixa, as retas de suporte tangenciam dois arcos que foram desenhados com raio igual à distância entre vértices; a distância entre esses suportes é exatamente o lado do triângulo original, que é b. Formalmente, por simetria e pela construção com arcos de raio b, a separação máxima entre retas paralelas de suporte é sempre b.
  • Calcular o perímetro: o triângulo de Reuleaux é formado por 3 arcos de círculo de raio b. Cada arco corresponde a um ângulo central igual a 60^\circ=\pi/3 (porque os centros são os vértices de um triângulo equilátero). O comprimento de cada arco é b\cdot(\pi/3). Portanto o perímetro total é
L=3\cdot b\cdot\frac{\pi}{3}=\pi b,
o que confirma o Teorema de Barbier no caso concreto.

Passo 6

Comentários finais, intuição e observações úteis para a prova.
  • Intuição simples: “largura média” ao longo de todas as direções é proporcional ao perímetro; mais precisamente a média de w(\theta) sobre [0,\pi] é L/\pi. Se a largura é constante (= b), essa média é b, logo L/\pi=b e L=\pi b.
  • Consequência interessante: curvas muito diferentes podem ter a mesma largura e, portanto, o mesmo perímetro (por exemplo, círculo e triângulo de Reuleaux com a mesma largura têm mesmo perímetro), porém normalmente têm áreas diferentes.
  • Método de prova usado: função de suporte + parametrização pela direção da normal (uma forma elegante e relativamente elementar). Uma prova alternativa usa aproximação por polígonos e integrações de projeções (a fórmula de Cauchy para comprimentos projetados), mas o esquema com função de suporte é limpo e direto.
  • Se estiver com pressa numa prova: vale citar a fórmula L=\int_0^{2\pi} h(\theta)\,d\theta e que w(\theta)=h(\theta)+h(\theta+\pi). Fazer a integral em [0,\pi] e concluir L=\pi b.

Resposta

L=\pi b

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