- Teorema de Barbier (Opcional/Desafio): Pesquise e explique por que todas as curvas de largura constante
possuem o mesmo perímetro
. Cite o exemplo do Triângulo de Reuleaux.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede: explicar por que todas as curvas convexas de largura constante
têm o mesmo perímetro . Esse resultado é o Teorema de Barbier. - Pede também citar o exemplo do Triângulo de Reuleaux (mostrar que ele tem largura
e perímetro ).
Informações importantes que usarei (definições que vêm do enunciado ou são necessárias):
- "Largura constante
" significa que, para toda direção dada por uma reta (ou, equivalentemente, para todo ângulo ), a distância entre duas retas paralelas de suporte da curva, perpendicularas a essa direção, é sempre . - A curva considerada é convexa, fechada e suficientemente regular (podemos usar aproximação por polígonos se for necessário).
- Vou usar a noção de função de suporte (uma ferramenta padrão para trabalhar com convexos). Não foi dada explicitamente no enunciado, mas é um objeto natural e simples para a prova.
Passo 2
Definição da função de suporte e da largura em função do ângulo (linguagem geométrica clara).
- Seja
o versor apontando na direção de ângulo . - Defina a função de suporte
da curva convexa como
ou seja,
é a distância (assumindo que a origem foi escolhida convenientemente) da origem até a reta de suporte cuja normal é
. Geometricamente,
mede “o quanto a curva se projeta” na direção
.
- A largura
da curva na direção (distância entre as duas retas de suporte perpendiculares a ) pode ser expressa em termos de como
Isto vem porque uma reta de suporte na direção
tem distância
da origem e a reta oposta (normal
) tem distância
, então a separação é a soma.
Observação prática: para uma curva de largura constante
vale
Passo 3
Expressar a curva pelo ângulo da normal e relacionar o comprimento de arco com a função de suporte (uma fórmula chave).
(Explicação passo a passo, sem pular etapas.)
- Em cada ponto regular da fronteira convexa existe uma reta suporte com normal
. Podemos parametizar a curva usando exatamente esse ângulo da normal externa. Em termos vetoriais, existe um ponto da fronteira cujo produto escalar com é :
- Agora diferencie essa igualdade em relação a
. Antes, observe que
e que
.
- Diferenciando
dá
Mas
está na reta de suporte com normal
, então
é ortogonal a
nos componentes relevantes; a maneira mais prática é construir
explicitamente em função de
e de
. Uma construção clássica (e direta) é:
Essa expressão pode ser verificada tomando o produto escalar com
:
porque
e
. Portanto a expressão é compatível com a definição de
. (Intuição:
dá a posição na direção normal e
desloca ao longo da reta de suporte.)
- Agora calcule
. Usando as derivadas de e :
Os termos
cancelam. Assim
é paralelo a
e sua norma é
- Para uma curva convexa regular a quantidade
é não negativa, de modo que o elemento de comprimento de arco é
- Integrando ao longo de toda a curva (ângulo
variando de a ) obtemos o perímetro :
- A integral do termo
sobre um período se anula (derivadas periódicas têm soma nula):
Logo sobra
Essa é a fórmula central: o perímetro é a integral da função de suporte ao longo de um período
a
.
(Dica prática: se a curva não for suave, pode-se aproximá-la por polígonos e fazer o mesmo raciocínio por partes; o resultado continua valendo.)
Passo 4
Relacionar a integral da função de suporte com a largura e concluir o Teorema de Barbier.
- Usando
, calcule
Fazendo a mudança de variável
na segunda integral, obtemos
portanto
Mas da Passo 3 sabemos que
. Logo
- Agora, se a curva tem largura constante
, então e a integral é simples:
Isto é exatamente o Teorema de Barbier: todas as curvas convexas de largura
têm perímetro
.
Passo 5
Exemplo concreto: Triângulo de Reuleaux (construção, largura e cálculo do perímetro).
- Construção rápida e visual: comece com um triângulo equilátero de lado
. Em cada vértice constrói-se um arco de círculo de raio que une os outros dois vértices; repetindo para os três vértices obtém-se uma curva fechada com três arcos iguais — esse é o Triângulo de Reuleaux de largura . - Por que tem largura
? Intuição: em qualquer direção fixa, as retas de suporte tangenciam dois arcos que foram desenhados com raio igual à distância entre vértices; a distância entre esses suportes é exatamente o lado do triângulo original, que é . Formalmente, por simetria e pela construção com arcos de raio , a separação máxima entre retas paralelas de suporte é sempre . - Calcular o perímetro: o triângulo de Reuleaux é formado por 3 arcos de círculo de raio
. Cada arco corresponde a um ângulo central igual a (porque os centros são os vértices de um triângulo equilátero). O comprimento de cada arco é . Portanto o perímetro total é
o que confirma o Teorema de Barbier no caso concreto.
Passo 6
Comentários finais, intuição e observações úteis para a prova.
- Intuição simples: “largura média” ao longo de todas as direções é proporcional ao perímetro; mais precisamente a média de
sobre é . Se a largura é constante (= ), essa média é , logo e . - Consequência interessante: curvas muito diferentes podem ter a mesma largura e, portanto, o mesmo perímetro (por exemplo, círculo e triângulo de Reuleaux com a mesma largura têm mesmo perímetro), porém normalmente têm áreas diferentes.
- Método de prova usado: função de suporte + parametrização pela direção da normal (uma forma elegante e relativamente elementar). Uma prova alternativa usa aproximação por polígonos e integrações de projeções (a fórmula de Cauchy para comprimentos projetados), mas o esquema com função de suporte é limpo e direto.
- Se estiver com pressa numa prova: vale citar a fórmula
e que . Fazer a integral em e concluir .