(0,5 ponto) Determine a série de Maclaurin da função f(x)=\cos ^{2}(x), sabendo que: 0,0
\cos (x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}, \quad \text { para todo } x \in \mathbb{R}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede: determinar a série de Maclaurin da função \displaystyle f(x)=\cos^{2}(x).
  • Informação dada: a série de Maclaurin de \cos(x) é
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!},\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Uma identidade trigonométrica útil (e fácil de provar) que relaciona \cos^{2}(x) com \cos(2x).
  • Usando a fórmula de ângulo duplo:
\cos(2x)=\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x).
  • Como \sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x), substituindo obtemos
\cos(2x)=\cos^{2}(x)-(1-\cos^{2}(x))=2\cos^{2}(x)-1.
  • Isolando \cos^{2}(x):
\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Esta identidade é muito prática porque transforma o quadrado de um cosseno numa combinação linear de constantes e de \cos de um ângulo maior, o que facilita usar séries conhecidas.

Passo 3

Substituir a série de \cos (fornecida) na identidade \cos^{2}(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}.
  • Peguei a série de \cos que o enunciado deu e faço a substituição x\mapsto 2x:
\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(2x)^{2n}}{(2n)!}.
  • Agora uso a identidade:
\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(2x)^{2n}}{(2n)!}.
Observação sobre validade: como a série de \cos converge para todo x (raio de convergência infinito), a substituição 2x e a combinação linear estão justificadas term a term.

Passo 4

Simplificar a expressão e obter os primeiros termos explícitos (para ver o padrão).
  • Escrevendo explicitamente os primeiros termos de \cos(2x):
\cos(2x)=1-\frac{(2x)^{2}}{2!}+\frac{(2x)^{4}}{4!}-\frac{(2x)^{6}}{6!}+\cdots.
  • Multiplicando por \tfrac{1}{2} e somando \tfrac{1}{2}:
\cos^{2}(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\Big(1-\frac{4x^{2}}{2!}+\frac{16x^{4}}{4!}-\frac{64x^{6}}{6!}+\cdots\Big).
  • Somando o termo constante \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot 1=1 e simplificando os coeficientes:
    • Coeficiente de x^{2}:
    -\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{2!}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{2}=-1.
    • Coeficiente de x^{4}:
    \frac{1}{2}\cdot\frac{16}{4!}=\frac{1}{2}\cdot\frac{16}{24}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}.
    • Coeficiente de x^{6}:
    -\frac{1}{2}\cdot\frac{64}{6!}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{64}{720}=-\frac{32}{720}=-\frac{2}{45}.
  • Assim, os primeiros termos da série são
\cos^{2}(x)=1 - x^{2} + \frac{1}{3}x^{4} - \frac{2}{45}x^{6} + \cdots.

Passo 5

Escrever a série em forma fechada (fórmula geral dos coeficientes).
A partir de
\cos^{2}(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(2x)^{2n}}{(2n)!}
pode-se escrever de forma equivalente, combinando o termo n=0,
\cos^{2}(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{2n-1}}{(2n)!}\,x^{2n}.
Ambas as formas (a com \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\sum ou a soma a partir de n=1) são corretas e equivalentes; a segunda destaca que só aparecem potências pares de x e dá a fórmula dos coeficientes.

Resposta

\cos^{2}(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}
\text{ou, equivalentemente,}\quad \cos^{2}(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{2n-1}}{(2n)!}\,x^{2n}
\text{e os primeiros termos: }\quad \cos^{2}(x)=1 - x^{2} + \frac{1}{3}x^{4} - \frac{2}{45}x^{6} + \cdots

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