(0,5 ponto) Determine a série de Maclaurin da função
, sabendo que: 0,0
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede: determinar a série de Maclaurin da função
. - Informação dada: a série de Maclaurin de
é
Passo 2
Uma identidade trigonométrica útil (e fácil de provar) que relaciona
com
.
- Usando a fórmula de ângulo duplo:
- Como
, substituindo obtemos
- Isolando
:
Esta identidade é muito prática porque transforma o quadrado de um cosseno numa combinação linear de constantes e de
de um ângulo maior, o que facilita usar séries conhecidas.
Passo 3
Substituir a série de
(fornecida) na identidade
.
- Peguei a série de
que o enunciado deu e faço a substituição :
- Agora uso a identidade:
Observação sobre validade: como a série de
converge para todo
(raio de convergência infinito), a substituição
e a combinação linear estão justificadas term a term.
Passo 4
Simplificar a expressão e obter os primeiros termos explícitos (para ver o padrão).
- Escrevendo explicitamente os primeiros termos de
:
- Multiplicando por
e somando :
- Somando o termo constante
e simplificando os coeficientes: - Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
- Assim, os primeiros termos da série são
Passo 5
Escrever a série em forma fechada (fórmula geral dos coeficientes).
A partir de
pode-se escrever de forma equivalente, combinando o termo
,
Ambas as formas (a com
ou a soma a partir de
) são corretas e equivalentes; a segunda destaca que só aparecem potências pares de
e dá a fórmula dos coeficientes.