Considerando a função periódica de período 2 \pi
f(x)=x^{2} \quad ; \quad 0<x \leq 2 \pi
e sua série de Fourier,
s(x)=\frac{4 \pi^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{n^{2}} \cdot \cos (n x)-\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4 \pi}{n} \cdot \operatorname{sen}(n x)
Utilizando essa série Fourier calcule a soma das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}}=

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função periódica de período 2\pi:
f(x)=x^{2}\quad;\quad 0<x\leq 2\pi.
  • A série de Fourier associada:
s(x)=\frac{4\pi^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4}{n^{2}}\cos(nx)-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4\pi}{n}\sin(nx).
O que o problema pede:
  • Calcular a soma
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}}.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): é comum usar a série de Fourier em um ponto conveniente para extrair somas de séries numéricas. Neste caso escolhemos x=0, porque \cos(n\cdot 0)=1 e \sin(n\cdot 0)=0, o que simplifica a série. Antes de substituir, é preciso lembrar uma propriedade importante sobre convergência da série de Fourier em pontos de descontinuidade:
Teorema útil (forma simples): se uma função periódica tem limites laterais em x_{0}, então a série de Fourier no ponto x_{0} converge para a média dos limites laterais, isto é,
s(x_{0})=\frac{f(x_{0}^{+})+f(x_{0}^{-})}{2}.
Aqui f(x_{0}^{+}) é o limite da função quando x se aproxima de x_{0} pela direita, e f(x_{0}^{-}) é o limite pela esquerda. Isso é necessário porque, no nosso caso, x=0 é um ponto de descontinuidade da extensão periódica (pois a função é dada em (0,2\pi]).

Passo 3

Calcular os limites laterais em x=0:
  • Pelo enunciado, para 0<x\leq 2\pi vale f(x)=x^{2}. Portanto o limite pela direita é
f(0^{+})=\lim_{x\to 0^{+}}x^{2}=0.
  • Pela periodicidade de período 2\pi, o limite pela esquerda em 0 corresponde ao valor próximo de 2\pi vindo por valores menores, isto é
f(0^{-})=\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim_{y\to 2\pi^{-}}y^{2}=(2\pi)^{2}=4\pi^{2}.
Assim a média dos limites é
\frac{f(0^{+})+f(0^{-})}{2}=\frac{0+4\pi^{2}}{2}=2\pi^{2}.

Passo 4

Avaliar a série s(x) em x=0 e igualar ao valor obtido pela média:
  • Substituindo x=0 na expressão da série dada:
s(0)=\frac{4\pi^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4}{n^{2}}\cos(0)-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4\pi}{n}\sin(0).
Como \cos(0)=1 e \sin(0)=0, isso simplifica para
s(0)=\frac{4\pi^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4}{n^{2}}.
Denotando
S=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}},
temos
s(0)=\frac{4\pi^{2}}{3}+4S.
Pelo Passo 3 sabemos que s(0)=2\pi^{2}. Logo
2\pi^{2}=\frac{4\pi^{2}}{3}+4S.
Isolando S:
4S=2\pi^{2}-\frac{4\pi^{2}}{3}=\frac{6\pi^{2}-4\pi^{2}}{3}=\frac{2\pi^{2}}{3},
portanto
S=\frac{1}{4}\cdot\frac{2\pi^{2}}{3}=\frac{\pi^{2}}{6}.

Passo 5

Resumo final do raciocínio (rápido): avaliou-se a série de Fourier em x=0, usou-se a convergência para a média dos limites laterais e resolveu-se a equação obtida para S. Isso fornece a soma desejada.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}

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