Considerando a função periódica de período
e sua série de Fourier,
Utilizando essa série Fourier calcule a soma das séries:
Passo 1
O enunciado dá:
- A função periódica de período
:
- A série de Fourier associada:
O que o problema pede:
- Calcular a soma
Passo 2
Estratégia (explicação didática): é comum usar a série de Fourier em um ponto conveniente para extrair somas de séries numéricas. Neste caso escolhemos
, porque
e
, o que simplifica a série. Antes de substituir, é preciso lembrar uma propriedade importante sobre convergência da série de Fourier em pontos de descontinuidade:
Teorema útil (forma simples): se uma função periódica tem limites laterais em
, então a série de Fourier no ponto
converge para a média dos limites laterais, isto é,
Aqui
é o limite da função quando
se aproxima de
pela direita, e
é o limite pela esquerda. Isso é necessário porque, no nosso caso,
é um ponto de descontinuidade da extensão periódica (pois a função é dada em
).
Passo 3
Calcular os limites laterais em
:
- Pelo enunciado, para
vale . Portanto o limite pela direita é
- Pela periodicidade de período
, o limite pela esquerda em corresponde ao valor próximo de vindo por valores menores, isto é
Assim a média dos limites é
Passo 4
Avaliar a série
em
e igualar ao valor obtido pela média:
- Substituindo
na expressão da série dada:
Como
e
, isso simplifica para
Denotando
temos
Pelo Passo 3 sabemos que
. Logo
Isolando
:
portanto
Passo 5
Resumo final do raciocínio (rápido): avaliou-se a série de Fourier em
, usou-se a convergência para a média dos limites laterais e resolveu-se a equação obtida para
. Isso fornece a soma desejada.