Considerando a função periódica de período 2 \pi
f(x)=x^{2} \quad ; \quad 0<x \leq 2 \pi
e sua série de Fourier,
s(x)=\frac{4 \pi^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{n^{2}} \cdot \cos (n x)-\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4 \pi}{n} \cdot \operatorname{sen}(n x)
Utilizando essa série Fourier calcule a soma das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}=

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede uma soma:
  • A função periódica de período 2\pi é definida por
f(x)=x^{2}\quad;\quad 0<x\leq 2\pi.
  • A série de Fourier dada para f é
s(x)=\frac{4\pi^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4}{n^{2}}\cos(nx)-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4\pi}{n}\,\operatorname{sen}(nx).
  • A pergunta que devemos responder é calcular a soma
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.

Passo 2

Ideia principal (sem calcular ainda): avaliar a série de Fourier s(x) num valor de x que transforme \cos(nx) em (-1)^{n} e anule o termo com \operatorname{sen}(nx). Um candidato natural é x=\pi, porque:
  • Para todo inteiro n vale \cos(n\pi)=(-1)^{n}.
  • Para todo inteiro n vale \sin(n\pi)=0.
Antes de substituir, precisamos justificar que podemos igualar s(\pi) ao valor da função f em x=\pi. Regra de convergência: a série de Fourier de uma função periódica, com partes contínuas, converge em cada ponto onde a função é contínua para o valor da função naquele ponto. A função f(x)=x^{2} (periódica estendida) é contínua em x=\pi, logo
s(\pi)=f(\pi)=\pi^{2}.

Passo 3

Agora substituímos x=\pi na expressão dada para s(x). Usando as identidades trigonométricas mencionadas:
\cos(n\pi)=(-1)^{n},\qquad \sin(n\pi)=0,
temos
s(\pi)=\frac{4\pi^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4}{n^{2}}\cos(n\pi)-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4\pi}{n}\sin(n\pi).
Como \sin(n\pi)=0 para todo n, o último somatório zera. Substituindo \cos(n\pi)=(-1)^{n} obtemos
s(\pi)=\frac{4\pi^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.

Passo 4

Recordando do Passo 2 que s(\pi)=\pi^{2}, igualamos as duas expressões:
\pi^{2}=\frac{4\pi^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
Isolando a soma procurada, primeiro subtrai-se \dfrac{4\pi^{2}}{3}:
\pi^{2}-\frac{4\pi^{2}}{3}=4\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
Calcule o lado esquerdo:
\pi^{2}-\frac{4\pi^{2}}{3}=\pi^{2}\left(1-\frac{4}{3}\right)=\pi^{2}\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{\pi^{2}}{3}.
Portanto
-\frac{\pi^{2}}{3}=4\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
Dividindo por 4,
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}=-\frac{\pi^{2}}{12}.

Resposta

-\dfrac{\pi^{2}}{12}

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