Considerando a função periódica de período
e sua série de Fourier,
Utilizando essa série Fourier calcule a soma das séries:
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede uma soma:
- A função periódica de período
é definida por
- A série de Fourier dada para
é
- A pergunta que devemos responder é calcular a soma
Passo 2
Ideia principal (sem calcular ainda): avaliar a série de Fourier
num valor de
que transforme
em
e anule o termo com
. Um candidato natural é
, porque:
- Para todo inteiro
vale . - Para todo inteiro
vale .
Antes de substituir, precisamos justificar que podemos igualar
ao valor da função
em
. Regra de convergência: a série de Fourier de uma função periódica, com partes contínuas, converge em cada ponto onde a função é contínua para o valor da função naquele ponto. A função
(periódica estendida) é contínua em
, logo
Passo 3
Agora substituímos
na expressão dada para
. Usando as identidades trigonométricas mencionadas:
temos
Como
para todo
, o último somatório zera. Substituindo
obtemos
Passo 4
Recordando do Passo 2 que
, igualamos as duas expressões:
Isolando a soma procurada, primeiro subtrai-se
:
Calcule o lado esquerdo:
Portanto
Dividindo por
,