( \mathbf{0}, \mathbf{6} ponto) Determine \operatorname{sen}^{2} \mathrm{x}, sabendo que \operatorname{tg} \mathrm{x}=\sqrt{5}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar \sin^2 x sabendo que \tan x = \sqrt{5}. O conteúdo é trigonometria básica, e vamos precisar da definição de tangente e da identidade pitagórica
\sin^2 x + \cos^2 x = 1.

Passo 2

Pela definição de tangente, temos
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{5}.
Elevando ao quadrado, fica
\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 5 \quad\Longrightarrow\quad \sin^2 x = 5\,\cos^2 x.

Passo 3

Substituímos \sin^2 x = 5\cos^2 x na identidade pitagórica:
5\cos^2 x + \cos^2 x = 1 \quad\Longrightarrow\quad 6\cos^2 x = 1 \quad\Longrightarrow\quad \cos^2 x = \frac{1}{6}.
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\sin^2 x = 5\cos^2 x = 5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{6}.

Resposta

\sin^2 x = \frac{5}{6}.

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