(1 ponto) Determine o volume do tetraedro com vértices (0,0,0),(1,1,0),(0,1,0) e (0, 1, 1).
Passo 1
O enunciado fornece os quatro vértices do tetraedro e pede o seu volume. Pontos dados:
A=(0,0,0)
B=(1,1,0)
C=(0,1,0)
D=(0,1,1)
Pergunta: determinar o volume do tetraedro com vértices A,B,C,D.
Passo 2
Escolher uma base triangular e calcular sua área. Observação útil: os pontos A,B,C têm coordenada z=0, logo os três estão no plano z=0. Portanto pode-se tomar o triângulo ABC como base (está no plano horizontal), e o vértice D fica a uma distância vertical da base igual ao seu z-valor. Lembrete da fórmula que vamos usar:
\text{o volume de uma pirâmide (ou tetraedro) } = \frac{1}{3}\times(\text{área da base})\times(\text{altura}).
A magnitude é \big\lVert(0,0,1)\big\rVert=1. Portanto
\text{área}(ABC)=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.á
Passo 5
Determinar a altura relativa à base ABC. Como a base está no plano z=0 e D=(0,1,1), a distância perpendicular (altura) de D ao plano da base é simplesmente a coordenada z de D: