(1 ponto) Determine o volume do tetraedro com vértices (0,0,0),(1,1,0),(0,1,0) e (0, 1, 1).

Passo 1

O enunciado fornece os quatro vértices do tetraedro e pede o seu volume. Pontos dados:
  • A=(0,0,0)
  • B=(1,1,0)
  • C=(0,1,0)
  • D=(0,1,1)
Pergunta: determinar o volume do tetraedro com vértices A,B,C,D.

Passo 2

Escolher uma base triangular e calcular sua área. Observação útil: os pontos A,B,C têm coordenada z=0, logo os três estão no plano z=0. Portanto pode-se tomar o triângulo ABC como base (está no plano horizontal), e o vértice D fica a uma distância vertical da base igual ao seu z-valor. Lembrete da fórmula que vamos usar:
\text{o volume de uma pirâmide (ou tetraedro) } = \frac{1}{3}\times(\text{área da base})\times(\text{altura}).âá

Passo 3

Calcular vetores de borda da base a partir de A:
\vec{AB} = B-A = (1,1,0), \qquad \vec{AC} = C-A = (0,1,0).
Para encontrar a área do triângulo ABC usa-se a magnitude do produto vetorial:
\text{área}(ABC)=\frac{1}{2}\,\big\lVert \vec{AB}\times\vec{AC}\big\rVert.á

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec{AB}\times\vec{AC}:
\vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (1\cdot0-0\cdot1)\,\mathbf{i} - (1\cdot0-0\cdot0)\,\mathbf{j} + (1\cdot1-1\cdot0)\,\mathbf{k} = (0,0,1).
A magnitude é \big\lVert(0,0,1)\big\rVert=1. Portanto
\text{área}(ABC)=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.á

Passo 5

Determinar a altura relativa à base ABC. Como a base está no plano z=0 e D=(0,1,1), a distância perpendicular (altura) de D ao plano da base é simplesmente a coordenada z de D:
\text{altura}=1.

Passo 6

Aplicar a fórmula do volume:
V=\frac{1}{3}\times\text{área}(ABC)\times\text{altura}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{6}.á

Passo 7

Verificação alternativa (opcional): usando o produto misto (determinante) com vetores a partir de A,
\vec{AD}=D-A=(0,1,1).
O determinante das colunas \vec{AB},\vec{AC},\vec{AD} é
\det\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]1&1&1\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}=1,
e a fórmula do volume pelo produto misto é
V=\frac{1}{6}\big|\det(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})\big|=\frac{1}{6}\cdot 1=\frac{1}{6},
confirmando o resultado.]

Resposta

\dfrac{1}{6}

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