(1 ponto) Expresse a área da região limitada pelas retas x=0, y=0 e x+y=2 como una integral dupla e calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: expressar a área da região limitada pelas retas x=0, y=0 e x+y=2 como uma integral dupla e calcular essa integral.
Informações dadas (limites da região):
  • A região é limitada por x=0 (eixo y), por y=0 (eixo x) e pela reta x+y=2.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar: a área de uma região R no plano pode ser escrita como a integral dupla da função constante 1 sobre R. Ou seja,
\text{Área}(R)=\iint_{R} 1\,dA.Á
Aqui dA representa um elemento de área (por exemplo dx\,dy ou dy\,dx). A ideia é somar (integrar) pequenos retângulos de área dA que cobrem R.

Passo 3

Descrever geometricamente a região R. As retas dadas formam um triângulo no primeiro quadrante com vértices em:
  • Interseção de x=0 e y=0: (0,0).
  • Interseção de y=0 e x+y=2: resolver y=0 em x+y=2 x=2, então (2,0).
  • Interseção de x=0 e x+y=2: resolver x=0 em x+y=2 y=2, então (0,2).
    Portanto R é o triângulo com vértices (0,0),(2,0),(0,2).

Passo 4

Escolher uma ordem de integração e escrever os limites. Vou usar a ordem dx\,dy (integrar primeiro em x para depois integrar em y). Para um dado y fixo entre 0 e 2, x varia desde a reta x=0 até a reta x=2-y (pois x+y=2 implica x=2-y). Assim os limites são:
0\le y\le 2,\qquad 0\le x\le 2-y.

Passo 5

Montar a integral dupla que representa a área:
\iint_{R} 1\,dA = \int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{2-y} 1\,dx\,dy.

Passo 6

Calcular a integral interna (integrando em x):
\int_{x=0}^{2-y} 1\,dx = \bigl[x\bigr]_{0}^{2-y} = 2-y.

Passo 7

Calcular a integral externa (agora em y):
\int_{y=0}^{2} (2-y)\,dy = \left[2y-\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \left(4-\frac{4}{2}\right)-0 = 4-2 = 2.

Passo 8

Verificação alternativa (ordem dy\,dx). Se integrar primeiro em y, para um x fixo entre 0 e 2 tem-se 0\le y\le 2-x. A integral fica
\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{2-x} 1\,dy\,dx.
A integral interna é 2-x, e a integral externa dá
\int_{0}^{2} (2-x)\,dx = \left[2x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = 4-2=2,
mesmo resultado.

Passo 9

Checagem geométrica rápida: o triângulo tem base 2 e altura 2, então a área pela fórmula geométrica é \dfrac{\text{base}\cdot\text{altura}}{2}=\dfrac{2\cdot2}{2}=2, consistente com a integral.

Resposta

2

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