(1 ponto) Expresse a área da região limitada pelas retas
e
como una integral dupla e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: expressar a área da região limitada pelas retas
,
e
como uma integral dupla e calcular essa integral.
Informações dadas (limites da região):
Informações dadas (limites da região):
- A região é limitada por
(eixo ), por (eixo ) e pela reta .
Passo 2
Conceito básico que vamos usar: a área de uma região
no plano pode ser escrita como a integral dupla da função constante
sobre
. Ou seja,
Aqui
representa um elemento de área (por exemplo
ou
). A ideia é somar (integrar) pequenos retângulos de área
que cobrem
.
Passo 3
Descrever geometricamente a região
. As retas dadas formam um triângulo no primeiro quadrante com vértices em:
- Interseção de
e : . - Interseção de
e : resolver em dá , então . - Interseção de
e : resolver em dá , então .
Portantoé o triângulo com vértices .
Passo 4
Escolher uma ordem de integração e escrever os limites. Vou usar a ordem
(integrar primeiro em
para depois integrar em
). Para um dado
fixo entre
e
,
varia desde a reta
até a reta
(pois
implica
). Assim os limites são:
Passo 5
Montar a integral dupla que representa a área:
Passo 6
Calcular a integral interna (integrando em
):
Passo 7
Calcular a integral externa (agora em
):
Passo 8
Verificação alternativa (ordem
). Se integrar primeiro em
, para um
fixo entre
e
tem-se
. A integral fica
A integral interna é
, e a integral externa dá
mesmo resultado.
Passo 9
Checagem geométrica rápida: o triângulo tem base
e altura
, então a área pela fórmula geométrica é
, consistente com a integral.