(3 pontos) Calcule as integrais iteradas:
onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
sobre o conjunto
Informações relevantes que temos:
- A integranda é
; ela depende apenas de e , não depende de . - As desigualdades que definem
dão em função de através de , que é equivalente a quando . - O objetivo é obter um número (o valor da integral).
Passo 2
Vamos reescrever os limites do domínio de forma conveniente para integrar em ordem
(integraremos
primeiro, depois
e por fim
).
Da condição
e de
segue que
varia entre
e
. Para um
fixo em
, a condição
é equivalente a
. E
varia independentemente em
. Logo uma descrição equivalente é
Passo 3
Escrevendo a integral com esses limites obtemos
Como a integranda não depende de
, a integral interna em
é simples:
Passo 4
Após integrar em
ficamos com a integral dupla em
e
:
Aqui
é constante na integral em
, então podemos movê-lo para fora da integral em
:
Passo 5
Calculemos a integral em
Usamos a substituição padrão quando aparece
com
: seja
. Então
, ou seja
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Portanto
Passo 6
Voltando à integral em
, substituímos o resultado do passo anterior:
A integral
é
. Assim