(3 pontos) Calcule as integrais iteradas:
\iiint_{B} 2 z \sin y^{3} d x d y d z onde B=\{(x, y, z) ; 0 \leq x \leq 1, \sqrt{x} \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 1\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B} 2 z \sin\bigl(y^{3}\bigr)\,dx\,dy\,dz
sobre o conjunto
B=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 1,\\ \sqrt{x}\le y\le 1,\\\ 0\le z\le 1\}.
Informações relevantes que temos:
  • A integranda é 2z\sin\bigl(y^{3}\bigr); ela depende apenas de y e z, não depende de x.
  • As desigualdades que definem B dão x em função de y através de \sqrt{x}\le y, que é equivalente a x\le y^{2} quando y\ge 0.
  • O objetivo é obter um número (o valor da integral).

Passo 2

Vamos reescrever os limites do domínio de forma conveniente para integrar em ordem dx\,dy\,dz (integraremos x primeiro, depois y e por fim z).
Da condição \sqrt{x}\le y e de 0\le x\le 1 segue que y varia entre 0 e 1. Para um y fixo em [0,1], a condição \sqrt{x}\le y é equivalente a 0\le x\le y^{2}. E z varia independentemente em 0\le z\le 1. Logo uma descrição equivalente é
0\le z\le 1,\qquad 0\le y\le 1,\qquad 0\le x\le y^{2}.

Passo 3

Escrevendo a integral com esses limites obtemos
\int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y^{2}} 2z\sin\bigl(y^{3}\bigr)\,dx\,dy\,dz.
Como a integranda não depende de x, a integral interna em x é simples:
\int_{x=0}^{y^{2}} 2z\sin\bigl(y^{3}\bigr)\,dx =2z\sin\bigl(y^{3}\bigr)\int_{0}^{y^{2}} dx =2z\sin\bigl(y^{3}\bigr)\cdot y^{2}.

Passo 4

Após integrar em x ficamos com a integral dupla em y e z:
\int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{1} 2z\,y^{2}\sin\bigl(y^{3}\bigr)\,dy\,dz.
Aqui z é constante na integral em y, então podemos movê-lo para fora da integral em y:
\int_{z=0}^{1} 2z\left(\int_{y=0}^{1} y^{2}\sin\bigl(y^{3}\bigr)\,dy\right)dz.

Passo 5

Calculemos a integral em y
\int_{0}^{1} y^{2}\sin\bigl(y^{3}\bigr)\,dy.
Usamos a substituição padrão quando aparece \sin(y^{3}) com y^{2}dy: seja \,u=y^{3}. Então \,du=3y^{2}dy, ou seja y^{2}dy=\dfrac{du}{3}. Quando y vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Portanto
\int_{0}^{1} y^{2}\sin\bigl(y^{3}\bigr)\,dy =\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\sin u\,du =\frac{1}{3}\bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{3}\bigl(1-\cos 1\bigr).

Passo 6

Voltando à integral em z, substituímos o resultado do passo anterior:
\int_{z=0}^{1} 2z\cdot \frac{1}{3}\bigl(1-\cos 1\bigr)\,dz =\frac{2}{3}\bigl(1-\cos 1\bigr)\int_{0}^{1} z\,dz.
A integral \int_{0}^{1} z\,dz é \dfrac{1}{2}. Assim
\frac{2}{3}\bigl(1-\cos 1\bigr)\cdot\frac{1}{2} =\frac{1}{3}\bigl(1-\cos 1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\bigl(1-\cos 1\bigr)

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