No seu ponto de ebulição ( 100^{\circ} \mathrm{C} a 1,00 \mathrm{~atm} ), a água líquida tem uma densidade de 0,958 \mathrm{~g} \mathrm{~mL}^{-1}. Se o calor molar de vaporização, \Delta \mathrm{H}_{\text {vap }}, da água é de 40,66 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}, calcule a \Delta \mathrm{U}_{\text {vap }} sob estas condições (Admita que o vapor de água se comporta idealmente).

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a variação de energia interna ao vaporizar a água, isto é \Delta U_{\text{vap}}, nas condições: temperatura de ebulição 100^{\circ}\mathrm{C} (a 1,00\\ \mathrm{atm}). As informações dadas são:
\begin{aligned} &\text{densidade da água líquida a }100^{\circ}\mathrm{C}: &&\rho=0{,}958\\ \mathrm{g\\ mL^{-1}}\\\ &\text{calor molar de vaporização:} &&\Delta H_{\text{vap}}=40{,}66\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}\\\ &\text{pressão:} &&p=1{,}00\\ \mathrm{atm}\\\ &\text{pressuposto:} &&\text{o vapor comporta-se como gás ideal.} \end{aligned}áíçããá
A tarefa é usar esses dados para obter \Delta U_{\text{vap}} por mol (unidade típica: \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}). Vou usar todos os dados numéricos e convertê-los para unidades SI quando necessário.

Passo 2

Primeiro, a relação termodinâmica que conecta entalpia H e energia interna U é
H = U + pV,
onde p é a pressão e V o volume do sistema. Para uma transformação (vaporização) a pressão constante, a variação é
\Delta H = \Delta U + \Delta(pV).
Como a pressão é constante, \Delta(pV)=p\Delta V. Portanto
\Delta U = \Delta H - p\Delta V.
Aqui \Delta V é o aumento de volume ao passar de 1 mol de líquido para 1 mol de vapor:
\Delta V = V_{\text{g}} - V_{\ell}.

Passo 3

Usando o comportamento de gás ideal para o vapor, o volume molar do gás é
V_{\text{g}} = \frac{RT}{p},
onde R é a constante dos gases e T a temperatura em kelvin. Então
p\Delta V = p\left(\frac{RT}{p}-V_{\ell}\right)=RT - pV_{\ell}.
Substituindo em \Delta U obtemos a fórmula prática
\Delta U = \Delta H - RT + pV_{\ell}.
Observação rápida: se desprezarmos completamente o volume do líquido ( V_{\ell}\approx 0), isso dá a forma aproximada \Delta U\approx \Delta H - RT. Aqui o enunciado deu a densidade para que a gente calcule V_{\ell} e veja o efeito desse termo (que costuma ser pequeno).

Passo 4

Faço agora as conversões e escolho constantes:
\begin{aligned} &\Delta H_{\text{vap}}=40{,}66\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}=40660\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}},\\\ &T=100^{\circ}\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &R=8{,}3145\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}\quad(\text{valor usual}),\\\ &p=1{,}00\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}. \end{aligned}

Passo 5

Calculo o volume molar do líquido a partir da densidade. A massa de 1 mol de água é M=18{,}015\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}. Assim
V_{\ell}=\frac{M}{\rho}=\frac{18{,}015\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}}{0{,}958\\ \mathrm{g\\ mL^{-1}}}.
Faço a divisão e converto para metros cúbicos:
V_{\ell}=18{,}804\\ \mathrm{mL\\ mol^{-1}}=18{,}804\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}\\ mol^{-1}}=1{,}8804\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}\\ mol^{-1}}.

Passo 6

Calculo pV_{\ell}:
pV_{\ell}=101325\\ \mathrm{Pa}\times 1{,}8804\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}\\ mol^{-1}}=1{,}90\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}\\ (\text{aprox.}).
Esse valor é bem pequeno (da ordem de joules) comparado à ordem de grandeza de \Delta H (10^4 J).

Passo 7

Calculo o termo RT:
RT=8{,}3145\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}\times 373{,}15\\ \mathrm{K}=3101{,}56\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}\\ (\text{aprox.}).

Passo 8

Agora volto à fórmula
\Delta U=\Delta H - RT + pV_{\ell}.
Substituindo os valores:
\Delta U=40660\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}-3101{,}56\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}+1{,}90\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Faço a conta:
\Delta U=40660-3101{,}56+1{,}90=37560{,}34\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Convertendo para \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}:
\Delta U=37{,}560\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}\approx 37{,}56\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.

Passo 9

Comentário final amigo: o termo pV_{\ell} deu apenas cerca de 1{,}9\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}, ou seja, é desprezível frente a RT (≈ 3100\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}). Assim, na prova você pode usar com segurança a aproximação \Delta U\approx\Delta H-RT e obter praticamente o mesmo número. Força aí — dá pra decorar o raciocínio: “ΔU = ΔH - RT (por mol de vapor formado), se o líquido tiver volume pequeno”.

Resposta

\Delta U_{\text{vap}}=37{,}56\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}

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