A temperatura de um bloco de ferro ( \mathrm{C}_{\mathrm{v}, \mathrm{m}}=25,1 \mathrm{~J} \mathrm{k}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1} ) de massa de 1,4 \mathrm{~kg} diminuiu 65^{\circ} \mathrm{C} quando ele foi resfriado até a temperatura ambiente. Qual é a variação de sua energia interna?

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que foi dado e o que é pedido):
Dado:
C_{V,m}=25,1\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}
\text{massa do bloco}=1,4\\ \mathrm{kg}
\Delta T=-65^\circ\mathrm{C}
Pedido: determinar a variação da energia interna do bloco ( \Delta U) quando ele é resfriado até a temperatura ambiente.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Para um sólido (como o ferro) a pequenas variações de temperatura, a variação da energia interna por mol a volume constante é dada pelo calor molar a volume constante multiplicado pela variação de temperatura. Assim, para n mols,
\Delta U = n\,C_{V,m}\,\Delta T.
Explicando cada símbolo:
  • \Delta U é a variação da energia interna do sistema (em joules, \mathrm{J}).
  • n é o número de mols do material.
  • C_{V,m} é o calor molar a volume constante (energia necessária para elevar 1 mol em 1\\ \mathrm{K}), aqui em \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • \Delta T é a variação de temperatura em kelvin ( \mathrm{K}). Observação importante: uma variação de 1^\circ\mathrm{C} equivale a uma variação de 1\\ \mathrm{K}, então podemos usar \Delta T=-65\\ \mathrm{K}.
Justificativa curta: para sólidos rígidos geralmente podemos tomar C_V constante na faixa dada, e a energia interna varia aproximadamente como nC_{V,m}\Delta T.

Passo 3

Converter a massa em número de mols (explicando e mostrando contas):
Precisamos de n. Usamos a massa molar do ferro. Do ferro (tabela periódica):
M_{\mathrm{Fe}} \approx 55,85\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.
Converter a massa do bloco para gramas:
1,4\\ \mathrm{kg} = 1400\\ \mathrm{g}.
Agora o número de mols é
n=\frac{\text{massa}}{M_{\mathrm{Fe}}}=\frac{1400\\ \mathrm{g}}{55,85\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}}.
Fazendo a divisão (mostrando passo a passo aproximado):
n \approx 25,07\\ \mathrm{mol}.
(Detalhe do cálculo: 55,85\times 25,07\approx 1400.)

Passo 4

Valor da variação de temperatura (explicando o sinal):
A variação de temperatura informada é uma diminuição de 65^\circ\mathrm{C}. Em kelvin isso é
\Delta T = -65\\ \mathrm{K},
o sinal negativo indica que a temperatura do bloco diminuiu (energia interna reduzir-se-á).

Passo 5

Aplicar a fórmula e calcular numericamente (contas passo a passo):
Usando
\Delta U = n\,C_{V,m}\,\Delta T,
substituímos os valores (todos em TeX):
\Delta U \approx (25,07\\ \mathrm{mol})\times(25,1\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}})\times(-65\\ \mathrm{K}).
Primeiro calculamos n\,C_{V,m}:
n\,C_{V,m} \approx 25,07\times 25,1 \approx 629,19\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Agora multiplicamos por \Delta T:
\Delta U \approx 629,19\times(-65)\\ \mathrm{J} \approx -40\,900\\ \mathrm{J}.
Arredondando adequadamente e escrevendo em notação conveniente:
\Delta U \approx -4,09\times 10^{4}\\ \mathrm{J} \approx -40,9\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

-4,09\times 10^{4}\\ \mathrm{J}

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