(a) (1 ponto) Escreva a definição da curvatura de uma curva.
(b) (1 ponto) Calcule a curvatura de um círculo de raio r.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Escrever a definição da curvatura de uma curva.
(b) Calcular a curvatura de um círculo de raio r.
Informações fornecidas:
Para a parte (b) a curva considerada é um círculo de raio r.
Nenhuma outra informação numérica foi dada.
Passo 2
Primeiro vamos entender as quantidades que aparecem na definição da curvatura. Vou apresentar e explicar passo a passo porque, na prova, é comum cair uma definição acompanhada de uma aplicação.
Definições úteis:
Seja \mathbf{r}(t) um parâmetro da curva no plano ou no espaço. O vetor velocidade é \mathbf{r}'(t).
O comprimento de arco s é uma função de t definida por
s(t)=\int_{t_0}^{t}\|\mathbf{r}'(u)\|\,du.
Aqui \|\mathbf{r}'(u)\| é a norma (comprimento) do vetor velocidade. A variável s mede a distância ao longo da curva — isto é, se ando um pouquinho na curva, s aumenta exatamente com a distância percorrida.
Esse vetor aponta na direção da curva e tem norma 1.
Explanação breve e intuitiva: a curvatura mede o quanto a direção da curva muda por unidade de comprimento ao andar sobre a curva. Se a direção muda muito rapidamente para uma pequena variação de s, a curvatura é grande; se muda pouco, a curvatura é pequena.
Passo 3
Agora a definição formal (a resposta pedida em (a)), com explicação do que cada símbolo significa:
Definição (forma canônica):
\kappa(s)=\left\|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right\|.
Aqui:
\kappa(s) é a curvatura em função do comprimento de arco s.
\mathbf{T} é o vetor unitário tangente.
\dfrac{d\mathbf{T}}{ds} é a derivada do vetor tangente em relação ao comprimento de arco; sua norma dá a taxa de variação da direção por unidade de comprimento.
Observação prática: muitas vezes a curva vem parametrizada por um parâmetro t que não é o comprimento de arco. Nesse caso usa-se a regra da cadeia para escrever
Explicação curta: o numerador é o determinante formado pelas derivadas — corresponde à magnitude do “produto vetorial” entre \mathbf{r}' e \mathbf{r}'' (que em 2D pode-se ver como a área orientada). O denominador vem da norma de \mathbf{r}' elevada a 3, resultado da relação entre derivadas em t e derivadas em s.
Para uma curva no espaço parametrizada por \mathbf{r}(t),
Explicação curta: o módulo do produto vetorial \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' mede a componente de \mathbf{r}'' que muda a direção (perpendicular a \mathbf{r}'), e a normalização por \|\mathbf{r}'\|^{3} ajusta a parametrização para obter taxa por unidade de comprimento.
Essas fórmulas são exatamente expressões da definição \kappa=\|\mathrm{d}\mathbf{T}/\mathrm{d}s\| reescritas em termos de derivadas em t.
Passo 5
Dica prática para prova: se a curva é um círculo de raio r, espere que a curvatura seja constante (simetria do círculo). Na prova costuma-se apresentar a parametrização por ângulo, que é bem direta e evita integrais de arco.
Passo 6
Vamos calcular a curvatura do círculo de raio r (parte (b)). Parâmetros e escolha do método:
Portanto a curvatura é constante e igual a \dfrac{1}{r}. Interpretação rápida: isso confere com a intuição geométrica de que a curvatura de um círculo é o inverso do seu raio — círculos menores (raio menor) curvam mais, logo curvatura maior.