(a) (1 ponto) Escreva a definição da curvatura de uma curva.
(b) (1 ponto) Calcule a curvatura de um círculo de raio r.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Escrever a definição da curvatura de uma curva.
  • (b) Calcular a curvatura de um círculo de raio r.
Informações fornecidas:
  • Para a parte (b) a curva considerada é um círculo de raio r.
  • Nenhuma outra informação numérica foi dada.

Passo 2

Primeiro vamos entender as quantidades que aparecem na definição da curvatura. Vou apresentar e explicar passo a passo porque, na prova, é comum cair uma definição acompanhada de uma aplicação.
Definições úteis:
  • Seja \mathbf{r}(t) um parâmetro da curva no plano ou no espaço. O vetor velocidade é \mathbf{r}'(t).
  • O comprimento de arco s é uma função de t definida por
s(t)=\int_{t_0}^{t}\|\mathbf{r}'(u)\|\,du.
Aqui \|\mathbf{r}'(u)\| é a norma (comprimento) do vetor velocidade. A variável s mede a distância ao longo da curva — isto é, se ando um pouquinho na curva, s aumenta exatamente com a distância percorrida.
  • A unidade tangente (vetor tangente normatizado) é
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}.
Esse vetor aponta na direção da curva e tem norma 1.
Explanação breve e intuitiva: a curvatura mede o quanto a direção da curva muda por unidade de comprimento ao andar sobre a curva. Se a direção muda muito rapidamente para uma pequena variação de s, a curvatura é grande; se muda pouco, a curvatura é pequena.

Passo 3

Agora a definição formal (a resposta pedida em (a)), com explicação do que cada símbolo significa:
Definição (forma canônica):
\kappa(s)=\left\|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right\|.
Aqui:
  • \kappa(s) é a curvatura em função do comprimento de arco s.
  • \mathbf{T} é o vetor unitário tangente.
  • \dfrac{d\mathbf{T}}{ds} é a derivada do vetor tangente em relação ao comprimento de arco; sua norma dá a taxa de variação da direção por unidade de comprimento.
Observação prática: muitas vezes a curva vem parametrizada por um parâmetro t que não é o comprimento de arco. Nesse caso usa-se a regra da cadeia para escrever
\frac{d\mathbf{T}}{ds}=\frac{d\mathbf{T}/dt}{ds/dt}=\frac{\mathbf{T}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|},
e portanto
\kappa(t)=\left\|\frac{\mathbf{T}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}\right\|.

Passo 4

Formulas úteis equivalentes (muito usadas em provas). Vou dar-as e explicar rapidamente de onde vêm, sem pular passos:
  1. Para uma curva plana parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) (com derivadas suficientemente suaves),
\kappa(t)=\frac{|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)|}{\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}.
Explicação curta: o numerador é o determinante formado pelas derivadas — corresponde à magnitude do “produto vetorial” entre \mathbf{r}' e \mathbf{r}'' (que em 2D pode-se ver como a área orientada). O denominador vem da norma de \mathbf{r}' elevada a 3, resultado da relação entre derivadas em t e derivadas em s.
  1. Para uma curva no espaço parametrizada por \mathbf{r}(t),
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^{3}}.
Explicação curta: o módulo do produto vetorial \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' mede a componente de \mathbf{r}'' que muda a direção (perpendicular a \mathbf{r}'), e a normalização por \|\mathbf{r}'\|^{3} ajusta a parametrização para obter taxa por unidade de comprimento.
Essas fórmulas são exatamente expressões da definição \kappa=\|\mathrm{d}\mathbf{T}/\mathrm{d}s\| reescritas em termos de derivadas em t.

Passo 5

Dica prática para prova: se a curva é um círculo de raio r, espere que a curvatura seja constante (simetria do círculo). Na prova costuma-se apresentar a parametrização por ângulo, que é bem direta e evita integrais de arco.

Passo 6

Vamos calcular a curvatura do círculo de raio r (parte (b)). Parâmetros e escolha do método:
  • Parametrização conveniente pelo ângulo \theta:
\mathbf{r}(\theta)=r\bigl(\cos\theta,\sin\theta\bigr),\qquad \theta\in\mathbb{R}.
Vou usar a fórmula plana
\kappa(\theta)=\frac{|x'(\theta)\,y''(\theta)-y'(\theta)\,x''(\theta)|}{\bigl(x'(\theta)^2+y'(\theta)^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 7

Calcular derivadas (tudo explícito, passo a passo):
Primeiras derivadas:
x(\theta)=r\cos\theta,\qquad x'(\theta)=-r\sin\theta,
y(\theta)=r\sin\theta,\qquad y'(\theta)=r\cos\theta.
Segundas derivadas:
x''(\theta)=-r\cos\theta, \qquad y''(\theta)=-r\sin\theta.
Agora o numerador da fórmula:
x'(\theta)\,y''(\theta)-y'(\theta)\,x''(\theta) =(-r\sin\theta)(-r\sin\theta)-(r\cos\theta)(-r\cos\theta).
Simplificando:
= r^2\sin^2\theta + r^2\cos^2\theta = r^2\bigl(\sin^2\theta+\cos^2\theta\bigr)=r^2.
O denominador:
x'(\theta)^2+y'(\theta)^2 = (-r\sin\theta)^2 + (r\cos\theta)^2 = r^2\sin^2\theta + r^2\cos^2\theta = r^2.
Logo
\bigl(x'(\theta)^2+y'(\theta)^2\bigr)^{3/2}=(r^2)^{3/2}=r^3.

Passo 8

Substituindo em \kappa(\theta):
\kappa(\theta)=\frac{r^2}{r^3}=\frac{1}{r}.
Portanto a curvatura é constante e igual a \dfrac{1}{r}. Interpretação rápida: isso confere com a intuição geométrica de que a curvatura de um círculo é o inverso do seu raio — círculos menores (raio menor) curvam mais, logo curvatura maior.

Resposta

(a) \displaystyle \kappa(s)=\left\|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right\|.
(b) \displaystyle \kappa=\frac{1}{r}.

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