Considere um retângulo ABCD em que o comprimento do lado AB é o dobro do comprimento do lado BC . Sejam M o ponto médio de BC e N o ponto médio de CM . Quanto vale a tangente do ângulo MÂN?

Passo 1

Vou deixar claríssimo o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados do enunciado:
    • ABCD é um retângulo.
    • O comprimento de AB é o dobro do comprimento de BC: AB=2\cdot BC.
    • M é o ponto médio de BC.
    • N é o ponto médio de CM.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular \tan\big(\angle M\hat{A}N\big), isto é, a tangente do ângulo com vértice em A formado pelos segmentos AM e AN.

Passo 2

Escolher coordenadas convenientes para trabalhar de forma direta. Posso colocar o retângulo em um sistema de coordenadas, sem perder generalidade (porque ângulos e tangentes não mudam por translação/rotação/escala apropriada quando mantemos as proporções).
  • Seja BC=b. Então AB=2b.
  • Coloco A na origem e AB ao longo do eixo x. Assim:
    • A=(0,0).
    • B=(2b,0).
    • C=(2b,b).
    • D=(0,b).
Para simplificar os cálculos posso escolher b=1 (dimensões proporcionais): isso dá um retângulo de lados 2 e 1, o que torna os números simples e não altera o valor de \tan\big(\angle M\hat{A}N\big).

Passo 3

Calcular as coordenadas dos pontos pedidos com b=1.
  • A=(0,0).
  • B=(2,0).
  • C=(2,1).
  • M é o ponto médio de BC. Coordenadas médias: M=\left(\dfrac{2+2}{2},\dfrac{0+1}{2}\right)=(2,\tfrac{1}{2}).
  • N é o ponto médio de CM. Coordenadas médias: N=\left(\dfrac{2+2}{2},\dfrac{1+\tfrac{1}{2}}{2}\right)=(2,\tfrac{3}{4}).
Portanto os vetores a partir de A são:
\overrightarrow{AM}=(2,\tfrac{1}{2}),\qquad \overrightarrow{AN}=(2,\tfrac{3}{4}).

Passo 4

Explicar como obter a tangente do ângulo entre duas retas que passam por A. Se uma reta tem coeficiente angular m_1 e a outra tem coeficiente angular m_2, e se \alpha_1=\arctan(m_1), \alpha_2=\arctan(m_2), então o ângulo entre elas é \alpha_2-\alpha_1 (assumindo \alpha_2>\alpha_1) e vale:
\tan(\alpha_2-\alpha_1)=\dfrac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}.
Esta fórmula vem da identidade da tangente da diferença de ângulos: \tan(u-v)=\dfrac{\tan u-\tan v}{1+\tan u\tan v}.
Aqui podemos usar os coeficientes angulares das retas AM e AN, que são simplesmente as razões y/x dos vetores \overrightarrow{AM} e \overrightarrow{AN}, porque ambas passam pela origem A.

Passo 5

Calcular os coeficientes angulares e aplicar a fórmula.
  • Coeficiente angular de AM: m_1=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{4}.
  • Coeficiente angular de AN: m_2=\dfrac{\tfrac{3}{4}}{2}=\dfrac{3}{8}.
  • Aplicando a fórmula da tangente da diferença: \tan\big(\angle M\hat{A}N\big)=\dfrac{m_2-m_1}{1+m_1m_2} =\dfrac{\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{4}}{1+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{3}{8}} =\dfrac{\dfrac{1}{8}}{1+\dfrac{3}{32}} =\dfrac{\dfrac{1}{8}}{\dfrac{35}{32}} =\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{32}{35} =\dfrac{4}{35}.

Passo 6

Verificação alternativa (útil para entender outra técnica): usar vetores diretamente. Para dois vetores \mathbf{u}=(u_x,u_y) e \mathbf{v}=(v_x,v_y) que partem da mesma origem, a tangente do ângulo entre eles pode ser obtida por
\tan\theta=\dfrac{|\det(\mathbf{u},\mathbf{v})|}{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}},
onde \det(\mathbf{u},\mathbf{v})=u_xv_y-u_yv_x e \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_xv_x+u_yv_y.
Aplicando com \mathbf{u}=\overrightarrow{AM}=(2,\tfrac{1}{2}) e \mathbf{v}=\overrightarrow{AN}=(2,\tfrac{3}{4}):
\det(\mathbf{u},\mathbf{v})=2\cdot\tfrac{3}{4}-\tfrac{1}{2}\cdot 2=\tfrac{3}{2}-1=\tfrac{1}{2},
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=2\cdot 2+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{4}=4+\tfrac{3}{8}=\tfrac{35}{8}.
Logo
\tan\theta=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{35}{8}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{8}{35}=\dfrac{4}{35},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{4}{35}

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