Considere um retângulo ABCD em que o comprimento do lado AB é o dobro do comprimento do lado BC . Sejam M o ponto médio de BC e N o ponto médio de CM . Quanto vale a tangente do ângulo MÂN?
Passo 1
Vou deixar claríssimo o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados do enunciado:
ABCD é um retângulo.
O comprimento de AB é o dobro do comprimento de BC: AB=2\cdot BC.
M é o ponto médio de BC.
N é o ponto médio de CM.
O que o enunciado pede:
Calcular \tan\big(\angle M\hat{A}N\big), isto é, a tangente do ângulo com vértice em A formado pelos segmentos AM e AN.
Passo 2
Escolher coordenadas convenientes para trabalhar de forma direta. Posso colocar o retângulo em um sistema de coordenadas, sem perder generalidade (porque ângulos e tangentes não mudam por translação/rotação/escala apropriada quando mantemos as proporções).
Seja BC=b. Então AB=2b.
Coloco A na origem e AB ao longo do eixo x. Assim:
A=(0,0).
B=(2b,0).
C=(2b,b).
D=(0,b).
Para simplificar os cálculos posso escolher b=1 (dimensões proporcionais): isso dá um retângulo de lados 2 e 1, o que torna os números simples e não altera o valor de \tan\big(\angle M\hat{A}N\big).
Passo 3
Calcular as coordenadas dos pontos pedidos com b=1.
A=(0,0).
B=(2,0).
C=(2,1).
M é o ponto médio de BC. Coordenadas médias:M=\left(\dfrac{2+2}{2},\dfrac{0+1}{2}\right)=(2,\tfrac{1}{2}).
N é o ponto médio de CM. Coordenadas médias:N=\left(\dfrac{2+2}{2},\dfrac{1+\tfrac{1}{2}}{2}\right)=(2,\tfrac{3}{4}).
Explicar como obter a tangente do ângulo entre duas retas que passam por A. Se uma reta tem coeficiente angular m_1 e a outra tem coeficiente angular m_2, e se \alpha_1=\arctan(m_1), \alpha_2=\arctan(m_2), então o ângulo entre elas é \alpha_2-\alpha_1 (assumindo \alpha_2>\alpha_1) e vale:
Esta fórmula vem da identidade da tangente da diferença de ângulos: \tan(u-v)=\dfrac{\tan u-\tan v}{1+\tan u\tan v}.
Aqui podemos usar os coeficientes angulares das retas AM e AN, que são simplesmente as razões y/x dos vetores \overrightarrow{AM} e \overrightarrow{AN}, porque ambas passam pela origem A.
Passo 5
Calcular os coeficientes angulares e aplicar a fórmula.
Coeficiente angular de AM:m_1=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{4}.
Coeficiente angular de AN:m_2=\dfrac{\tfrac{3}{4}}{2}=\dfrac{3}{8}.
Aplicando a fórmula da tangente da diferença:\tan\big(\angle M\hat{A}N\big)=\dfrac{m_2-m_1}{1+m_1m_2} =\dfrac{\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{4}}{1+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{3}{8}} =\dfrac{\dfrac{1}{8}}{1+\dfrac{3}{32}} =\dfrac{\dfrac{1}{8}}{\dfrac{35}{32}} =\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{32}{35} =\dfrac{4}{35}.
Passo 6
Verificação alternativa (útil para entender outra técnica): usar vetores diretamente. Para dois vetores \mathbf{u}=(u_x,u_y) e \mathbf{v}=(v_x,v_y) que partem da mesma origem, a tangente do ângulo entre eles pode ser obtida por