№s Problemas 14 a 20, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede: encontrar todos os autovalores e todos os autovetores de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A é uma matriz
com entradas , , , . - É pedido resolver a equação de autovalores/autovetores usual, isto é, achar
e tais que
Passo 2
O que significa encontrar autovalores e autovetores (lembrete didático):
- Um vetor
, , é autovetor de associado ao autovalor se . - Reescrevendo, isso é
. Para existir a matriz deve ser singular, isto é,
- Essa equação em
é o polinômio característico. Resolver esse polinômio dá os autovalores; para cada autovalor encontramos os vetores não nulos do núcleo de (as equações lineares) — esses são os autovetores.
Passo 3
Formar
e calcular o determinante:
O determinante é
Agora desenvolvo passo a passo essa expressão:
Subtraindo
obtemos
Passo 4
Resolver o polinômio característico:
Isso é uma equação quadrática simples; fatorando ou usando raiz quadrada:
Portanto os autovalores são
e
.
Passo 5
Encontrar autovetores para [\lambda_1=2).
Montamos
:
Procuramos vetores
tais que
. Isso dá o sistema
Da primeira equação temos
Substituindo na segunda obtemos a mesma relação (verificação), então os autovetores são todos os múltiplos de
Explicação sobre escala: qualquer múltiplo escalar
também é autovetor. Se quisermos o autovetor unitário (normalizado), calculamos a norma:
Logo o autovetor unitário associado a
é
Passo 6
Encontrar autovetores para [\lambda_2=-2).
Montamos
:
Procuramos
tal que
. O sistema é
Da segunda equação temos
Substituindo na primeira dá a mesma relação (verificação). Tomando
, mas é mais comum escolher um vetor sem frações e com o sinal invertido para ficar consistente; multiplicando por
temos um representante conveniente:
Verificação rápida do porquê funciona: substituindo numa equação dá
.
Norma de
:
Assim o autovetor unitário associado a
é
Passo 7
Observações finais (didáticas e úteis para prova):
- A matriz
é simétrica ( ), por isso sempre tem autovalores reais e autovetores ortogonais. Aqui checamos a ortogonalidade: o produto interno de e é
confirmando que os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais.
- Para obter uma base ortonormal de autovetores basta dividir cada vetor pelo seu comprimento (aqui ambos têm norma
), como mostrado nos vetores normalizados acima. - Em prova: faça sempre a conta do determinante com calma, verifique as relações entre equações do sistema homogêneo e escolha representantes simples para os autovetores (inteiros/radicais simples), e, se pedirem, normalize dividindo pela norma.]