Qual a velocidade de um satélite articial em órbita ao redor da Terra, sendo que este se encontra a 2.000 Km da superfície? E qual seria a distância à superfície se esse mesmo satélite estivesse aproximadamente parado para um observador parado na superfície?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Qual a velocidade de um satélite artificial em órbita circular ao redor da Terra quando ele está a 2{,}000\\ \mathrm{km} acima da superfície?
  • Se quisermos que esse mesmo satélite fique aproximadamente parado para um observador fixo na superfície (isto é, permaneça estacionário sobre um ponto da Terra), qual deveria ser a distância dele até a superfície?
Informações dadas e valores que vamos usar (estes são dados numéricos padrão para a Terra; estou pegando estes valores como conhecidos):
  • Altitude pedida do satélite nesta primeira parte: h=2{,}000\\ \mathrm{km}.
  • Raio médio da Terra: R_{\mathrm{T}}=6{,}371\\ \mathrm{km}.
  • Constante gravitacional: G=6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
  • Massa da Terra: M=5{,}972\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.
  • Período de rotação da Terra (dia sideral), que usaremos para a segunda parte (órbita estacionária): T_{\mathrm{rot}} \approx 23\,\mathrm{h}\\\ 56\,\mathrm{min} = 86\,164\\ \mathrm{s}.
Observações importantes (sem ainda resolver): na primeira parte assumiremos órbita circular (é a suposição usual quando pedem "velocidade em órbita a h"). Na segunda parte “aproximadamente parado para um observador parado na superfície” corresponde ao caso de órbita geossíncrona/geostacionária (mesmo período da rotação da Terra); depois explico e calculo isso.

Passo 2

Então vamos ao básico: por que existe uma velocidade de órbita e como calculá-la?
A ideia física (explicação didática):
  • Um satélite em órbita circular está constantemente “caindo” em direção à Terra por causa da gravidade, mas sua velocidade tangencial faz com que ele descreva uma trajetória curva e não colida com a Terra. Para uma órbita circular estável, a força gravitacional é exatamente a força centrípeta necessária para manter o movimento circular.
  • Força gravitacional (Lei da gravitação de Newton) entre Terra e satélite de massa m:
F_{\mathrm{grav}}=\dfrac{G M m}{r^{2}},
onde r é a distância do centro da Terra ao satélite.
  • Força centrípeta necessária para manter velocidade v em raio r:
F_{\mathrm{cent}}=\dfrac{m v^{2}}{r}.
  • Igualando as duas (pois a gravidade fornece a centrípeta):
\dfrac{G M m}{r^{2}}=\dfrac{m v^{2}}{r}.
  • Cancelando m e resolvendo para v obtemos a fórmula fundamental da velocidade orbital circular:
v=\sqrt{\dfrac{G M}{r}}.
Aqui:
  • v é a velocidade orbital (m/s),
  • G é a constante gravitacional ( \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}),
  • M é a massa da Terra (kg),
  • r é o raio da órbita contado desde o centro da Terra (m). Note que r=R_{\mathrm{T}}+h, com R_{\mathrm{T}} e h na mesma unidade (metros).

Passo 3

Aplicando para o caso h=2{,}000\\ \mathrm{km}.
Primeiro converto para metros:
R_{\mathrm{T}}=6{,}371\\ \mathrm{km}=6{,}371\times10^{3}\\ \mathrm{m}=6{,}371{,}000\\ \mathrm{m},
h=2{,}000\\ \mathrm{km}=2{,}000\times10^{3}\\ \mathrm{m}=2{,}000{,}000\\ \mathrm{m}.
Logo o raio da órbita é
r=R_{\mathrm{T}}+h=6{,}371{,}000+2{,}000{,}000=8{,}371{,}000\\ \mathrm{m}.
Usando a fórmula \;v=\sqrt{\dfrac{G M}{r}}\; e o parâmetro gravitacional padrão \mu=G M (que agiliza cálculo), onde
\mu=G M \approx 3{,}986004418\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}},
temos
v=\sqrt{\dfrac{\mu}{r}}=\sqrt{\dfrac{3{,}986004418\times10^{14}}{8{,}371{,}000}}\\ \mathrm{m/s}.
Faço a divisão e a raiz (mostrando a conta de forma que dê para reprovar na prova à mão se necessário):
\dfrac{3{,}986004418\times10^{14}}{8{,}371{,}000}\approx 4{,}76103\times10^{7},
v\approx\sqrt{4{,}76103\times10^{7}}\\ \mathrm{m/s}\approx 6{,}896{,}9\\ \mathrm{m/s}.
Em unidades mais intuitivas:
v\approx 6{,}897\\ \mathrm{m/s}\approx 6{,}90\\ \mathrm{km/s}.
Interpretação curta e motivacional: ou seja, para ficar em órbita circular a 2{,}000\\ \mathrm{km} de altitude é preciso viajar rápido — cerca de 6{,}9\\ \mathrm{km} a cada segundo. Não é pouca coisa, mas é menos do que a velocidade orbital para órbitas mais baixas (a velocidade diminui com o aumento de r).

Passo 4

Agora a segunda parte: “qual seria a distância à superfície se o satélite estivesse aproximadamente parado para um observador parado na superfície?”
Explicação conceitual:
  • Para que um satélite pareça parado para um observador fixo na Terra, ele precisa ter o mesmo período angular de rotação da Terra: isto é, completar uma volta em torno do eixo da Terra no mesmo tempo que a Terra gira (um dia sideral). Esse caso é a órbita geossíncrona; se ainda estiver sobre o equador e com mesma fase, chama-se geostacionária.
  • A condição é que o período orbital T do satélite seja igual ao período de rotação da Terra T_{\mathrm{rot}}=86\,164\\ \mathrm{s}.
  • Para órbita circular, a relação entre período e raio vem de Kepler/Newton:
T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^{3}}{G M}}.
Isolando r obtemos:
r=\left(\dfrac{G M T^{2}}{4\pi^{2}}\right)^{1/3}.
Aqui r é o raio desde o centro da Terra; a altitude sobre a superfície será h=r-R_{\mathrm{T}}.

Passo 5

Calculo numérico do raio para T=T_{\mathrm{rot}}=86{,}164\\ \mathrm{s}.
Usando de novo \mu=G M,
r=\left(\dfrac{\mu T^{2}}{4\pi^{2}}\right)^{1/3}.
Substituindo os números:
r=\left(\dfrac{3{,}986004418\times10^{14}\times(86{,}164)^{2}}{4\pi^{2}}\right)^{1/3}.
Calculando (passos intermediários):
\dfrac{T^{2}}{4\pi^{2}}=\left(\dfrac{86{,}164}{2\pi}\right)^{2}\approx 1{,}880{,}4\times10^{8}\\ \mathrm{s^{2}},
\mu\cdot\dfrac{T^{2}}{4\pi^{2}}\approx 3{,}986004418\times10^{14}\times 1{,}880{,}4\times10^{8}\approx 7{,}495\times10^{22}\\ \mathrm{m^{3}}.
Tomando a raiz cônica (cúbica),
r\approx 4{,}2164\times10^{7}\\ \mathrm{m}=42{,}164\\ \mathrm{km}.
A altitude sobre a superfície é
h=r-R_{\mathrm{T}}=42{,}164\\ \mathrm{km}-6{,}371\\ \mathrm{km}\approx 35{,}793\\ \mathrm{km}.
Valor conhecido e frequentemente citado é h\approx 35{,}786\\ \mathrm{km}; a pequena diferença vem de arredondamentos nos números usados (por exemplo, usar R_{\mathrm{T}}=6{,}378{,}1\\ \mathrm{km} em vez de 6{,}371\\ \mathrm{km} dá exatamente 35{,}786\\ \mathrm{km}). De forma prática, pode-se citar cerca de 35{,}800\\ \mathrm{km}.
Comentário prático: esse é o motivo pelo qual satélites de telecomunicação “fixos” na posição sobre um país ficam muito altos — cerca de trinta e cinco mil e poucos quilômetros. Além disso, só é realmente “parado” se estiver sobre o equador e seguindo o sentido da rotação da Terra.

Resposta

\;v\approx 6{,}897\\ \mathrm{m/s}\approx 6{,}90\\ \mathrm{km/s}\newline
\;h_{\text{(estacionário)}}\approx 35{,}793\\ \mathrm{km}á

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