Qual a velocidade de um satélite articial em órbita ao redor da Terra, sendo que este se encontra a 2.000 Km da superfície? E qual seria a distância à superfície se esse mesmo satélite estivesse aproximadamente parado para um observador parado na superfície?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Qual a velocidade de um satélite artificial em órbita circular ao redor da Terra quando ele está a
acima da superfície? - Se quisermos que esse mesmo satélite fique aproximadamente parado para um observador fixo na superfície (isto é, permaneça estacionário sobre um ponto da Terra), qual deveria ser a distância dele até a superfície?
Informações dadas e valores que vamos usar (estes são dados numéricos padrão para a Terra; estou pegando estes valores como conhecidos):
- Altitude pedida do satélite nesta primeira parte:
. - Raio médio da Terra:
. - Constante gravitacional:
. - Massa da Terra:
. - Período de rotação da Terra (dia sideral), que usaremos para a segunda parte (órbita estacionária):
.
Observações importantes (sem ainda resolver): na primeira parte assumiremos órbita circular (é a suposição usual quando pedem "velocidade em órbita a
"). Na segunda parte “aproximadamente parado para um observador parado na superfície” corresponde ao caso de órbita geossíncrona/geostacionária (mesmo período da rotação da Terra); depois explico e calculo isso.
Passo 2
Então vamos ao básico: por que existe uma velocidade de órbita e como calculá-la?
A ideia física (explicação didática):
- Um satélite em órbita circular está constantemente “caindo” em direção à Terra por causa da gravidade, mas sua velocidade tangencial faz com que ele descreva uma trajetória curva e não colida com a Terra. Para uma órbita circular estável, a força gravitacional é exatamente a força centrípeta necessária para manter o movimento circular.
- Força gravitacional (Lei da gravitação de Newton) entre Terra e satélite de massa
:
onde
é a distância do centro da Terra ao satélite.
- Força centrípeta necessária para manter velocidade
em raio :
- Igualando as duas (pois a gravidade fornece a centrípeta):
- Cancelando
e resolvendo para obtemos a fórmula fundamental da velocidade orbital circular:
Aqui:
-
é a velocidade orbital (m/s), -
é a constante gravitacional ( ), -
é a massa da Terra (kg), -
é o raio da órbita contado desde o centro da Terra (m). Note que , com e na mesma unidade (metros).
Passo 3
Aplicando para o caso
.
Primeiro converto para metros:
Logo o raio da órbita é
Usando a fórmula
e o parâmetro gravitacional padrão
(que agiliza cálculo), onde
temos
Faço a divisão e a raiz (mostrando a conta de forma que dê para reprovar na prova à mão se necessário):
Em unidades mais intuitivas:
Interpretação curta e motivacional: ou seja, para ficar em órbita circular a
de altitude é preciso viajar rápido — cerca de
a cada segundo. Não é pouca coisa, mas é menos do que a velocidade orbital para órbitas mais baixas (a velocidade diminui com o aumento de
).
Passo 4
Agora a segunda parte: “qual seria a distância à superfície se o satélite estivesse aproximadamente parado para um observador parado na superfície?”
Explicação conceitual:
- Para que um satélite pareça parado para um observador fixo na Terra, ele precisa ter o mesmo período angular de rotação da Terra: isto é, completar uma volta em torno do eixo da Terra no mesmo tempo que a Terra gira (um dia sideral). Esse caso é a órbita geossíncrona; se ainda estiver sobre o equador e com mesma fase, chama-se geostacionária.
- A condição é que o período orbital
do satélite seja igual ao período de rotação da Terra . - Para órbita circular, a relação entre período e raio vem de Kepler/Newton:
Isolando
obtemos:
Aqui
é o raio desde o centro da Terra; a altitude sobre a superfície será
.
Passo 5
Calculo numérico do raio para
.
Usando de novo
,
Substituindo os números:
Calculando (passos intermediários):
Tomando a raiz cônica (cúbica),
A altitude sobre a superfície é
Valor conhecido e frequentemente citado é
; a pequena diferença vem de arredondamentos nos números usados (por exemplo, usar
em vez de
dá exatamente
). De forma prática, pode-se citar cerca de
.
Comentário prático: esse é o motivo pelo qual satélites de telecomunicação “fixos” na posição sobre um país ficam muito altos — cerca de trinta e cinco mil e poucos quilômetros. Além disso, só é realmente “parado” se estiver sobre o equador e seguindo o sentido da rotação da Terra.