(1 ponto) Uma fábrica de lâmpadas quer testar sua qualidade de produção. Sabe-se que o tempo de vida em horas de um bulbo de lâmpada de 75 W é distribuída de forma aproximadamente normal com desvio padrão de 26.28. Uma amostra aleatória de 15 bulbos apresentou tempo de vida médio de 1597.61 horas. Assinale a alternativa correspondente ao intervalo de confiança para duração desses bulbos com 95% de confiança.
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e pede:
- Tamanho da amostra:
. - Desvio padrão populacional (conhecido):
. - Média amostral observada:
. - Nível de confiança pedido:
(logo ).
O que se pede: determinar o intervalo de confiança depara a duração média desses bulbos e identificar a alternativa correta entre as opções dadas.
Passo 2
Qual é a fórmula a usar e por quê (explicação didática):
- Quando a distribuição da população é aproximadamente normal e o desvio padrão populacional
é conhecido, a distribuição amostral da média tem média (a verdadeira média) e desvio padrão . Ou seja,
- Um intervalo de confiança simétrico de nível
para é dado por
onde:
-
é a média amostral observada (aqui ); -
é o desvio padrão populacional conhecido (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que . Esse fator ajusta o tamanho do intervalo conforme o nível de confiança. - Intuição curta: a média amostral tende a variar em torno da verdadeira média com “erro padrão”
; multiplicando esse erro pelo fator obtemos a margem que garante, em média, a cobertura desejada de .
Passo 3
Escolher o valor de
para
:
- Para nível de confiança
temos e . - O quantil correspondente é
. Assim usaremos .
Passo 4
Calcular o erro padrão (std. error) da média:
Calculemos
e a divisão:
Portanto o erro padrão vale aproximadamente
horas.
Passo 5
Calcular a margem de erro (meia largura do intervalo):
Passo 6
Montar o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem à média:
Arredondando aos três decimais (como nas opções), obtemos aproximadamente
Passo 7
Comparação com as alternativas fornecidas:
- A alternativa que mais se aproxima (e corresponde) é a alternativa (e)
.
Resposta
e.