(1 ponto) Uma fábrica de lâmpadas quer testar sua qualidade de produção. Sabe-se que o tempo de vida em horas de um bulbo de lâmpada de 75 W é distribuída de forma aproximadamente normal com desvio padrão de 26.28. Uma amostra aleatória de 15 bulbos apresentou tempo de vida médio de 1597.61 horas. Assinale a alternativa correspondente ao intervalo de confiança para duração desses bulbos com 95% de confiança.
a. [1594.176,1601.044]
b. [1583.057,1612.163]
c. [1593.852,1601.368]
d. [1595.439,1599.781]
e. [1584.310,1610.910]

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede:
  • Tamanho da amostra: n=15.
  • Desvio padrão populacional (conhecido): \sigma=26{,}28.
  • Média amostral observada: \bar{x}=1597{,}61.
  • Nível de confiança pedido: 95\% (logo \alpha=0{,}05).
    O que se pede: determinar o intervalo de confiança de 95\% para a duração média desses bulbos e identificar a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

Qual é a fórmula a usar e por quê (explicação didática):
  • Quando a distribuição da população é aproximadamente normal e o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, a distribuição amostral da média tem média \mu (a verdadeira média) e desvio padrão \sigma_{\bar{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}. Ou seja,
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
  • Um intervalo de confiança simétrico de nível 1-\alpha para \mu é dado por
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral observada (aqui \bar{x}=1597{,}61);
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido (aqui \sigma=26{,}28);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=15);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que \Pr(Z\le z_{\alpha/2})=1-\alpha/2. Esse fator ajusta o tamanho do intervalo conforme o nível de confiança.
  • Intuição curta: a média amostral tende a variar em torno da verdadeira média com “erro padrão” \sigma/\sqrt{n}; multiplicando esse erro pelo fator z_{\alpha/2} obtemos a margem que garante, em média, a cobertura desejada de 95\%.

Passo 3

Escolher o valor de z_{\alpha/2} para 95\%:
  • Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0{,}05 e \alpha/2=0{,}025.
  • O quantil correspondente é z_{0{,}025}=z_{0{,}975}\approx 1{,}96. Assim usaremos z_{\alpha/2}=1{,}96.

Passo 4

Calcular o erro padrão (std. error) da média:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{26{,}28}{\sqrt{15}}.
Calculemos \sqrt{15} e a divisão:
\sqrt{15}\approx 3{,}872983346, \qquad \frac{26{,}28}{\sqrt{15}}\approx 6{,}78706.
Portanto o erro padrão vale aproximadamente 6{,}78706 horas.

Passo 5

Calcular a margem de erro (meia largura do intervalo):
\text{margem}=z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =1{,}96\cdot 6{,}78706\approx 13{,}303.

Passo 6

Montar o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem à média:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}=1597{,}61-13{,}303\approx 1584{,}307,
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}=1597{,}61+13{,}303\approx 1610{,}913.
Arredondando aos três decimais (como nas opções), obtemos aproximadamente
[1584{,}310,\;1610{,}910].

Passo 7

Comparação com as alternativas fornecidas:
  • A alternativa que mais se aproxima (e corresponde) é a alternativa (e) [1584{,}310,\;1610{,}910].

Resposta

e. [1584{,}310,\;1610{,}910]

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