A treliça de ponte Howe está sujeita ao carregamento mostrado. Determine as forças nos membros IID, CD e GD e indique se os membros estão sob tração ou compressão.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar as forças nos membros IID, CD e GD e indicar se cada membro está sob tração ou compressão.
O que o enunciado nos dá (ou deveria dar) — informações relevantes que seriam necessárias para resolver:
- A treliça descrita como “ponte Howe” e um carregamento “mostrado” (isto inclui posições e magnitudes das forças externas).
- A geometria da treliça: posições dos nós, comprimentos dos membros e ângulos entre membros.
- As condições de apoio (tipos de apoio e reações na treliça).
Observação importante: o enunciado refere-se a um carregamento “mostrado” em uma figura que não foi fornecida. Sem essa figura não há como obter valores numéricos para as forças, porque faltam as magnitudes e posições das cargas e as dimensões/ângulos da treliça. A partir daqui eu não vou inventar a figura: vou ensinar passo a passo o método que você deve aplicar na prova assim que tiver a figura completa, explicando tudo bem devagar e com exemplos de como montar as equações.
Passo 2
Ideia geral e estratégia (o que normalmente se faz em exercícios de treliça):
- Primeiro passo: calcular as reações de apoio da treliça usando as equações de equilíbrio do corpo inteiro (estática do corpo rígido).
- Usam-se as três equações de equilíbrio de um corpo plano:
, e . - Isso fornece as reações em apoios (por exemplo, reação vertical e horizontal em um apoio e reação vertical no outro).
- Usam-se as três equações de equilíbrio de um corpo plano:
- Segundo passo: determinar as forças internas nos membros desejados. Dois métodos principais:
- Método dos nós (method of joints): isolar um nó e aplicar
e . Bom quando o nó tem no máximo duas incógnitas. - Método da seção (method of sections): cortar a treliça por uma “seção” que atravessa os membros de interesse e aplicar as três equações de equilíbrio para a porção isolada; ótimo quando se quer resolver diretamente até três incógnitas.
- Método dos nós (method of joints): isolar um nó e aplicar
- Dica prática: use a regra dos “membros nulos” (zero-force members) quando aplicável — isso simplifica muito. Regras úteis:
- Se um nó tem exatamente dois membros não colineares e não há carga externa nem reação nele, ambos os membros são zero-força.
- Se um nó tem três membros e dois são colineares e não há carga externa, o terceiro é zero-força.
Vou explicar como executar cada etapa com detalhes.
Passo 3
Cálculo das reações de apoio (aula prática):
- Identifique os apoios e anote incógnitas das reações, por exemplo
no apoio A e no apoio B (dependendo do tipo de apoio). - Aplique as equações de equilíbrio do corpo inteiro. Em termos gerais:
- Aqui
é um ponto conveniente para tomar momentos (muitas vezes toma-se o ponto de um apoio para eliminar suas reações das equações). - Explique o que significa cada símbolo:
-
e : somatórios das componentes de força em e . -
, , : reações desconhecidas nos apoios. -
, : componentes horizontais e verticais das forças externas que aparecem na figura. -
: somatório de momentos (torques) em torno do ponto ; momento de uma força é força vezes a distância perpendicular ao ponto.
-
- No momento que tiver a figura, calcule essas reações numericamente. Sem a figura não é possível avançar em valores numéricos.
Passo 4
Método da seção — teoria e preparação (motivo por que usá-lo aqui):
- Quando se quer encontrar diretamente as forças em até três membros arbitrários (aqui:
, e ), o método da seção é o mais eficiente. - Procedimento:
- Faça um “corte” imaginário através da treliça que intercepta os membros cujas forças deseja encontrar. A seção deve cortar no máximo três membros internos desconhecidos (se cortar mais, ficará com mais incógnitas do que equações).
- Isole um dos lados da treliça cortada (esquerdo ou direito) e desenhe o diagrama de corpo livre dessa parte, mostrando:
- Todas as forças externas aplicadas nessa parte (cargas e reações de apoio, se presentes no lado isolado).
- As forças internas nos membros cortados, representadas nas linhas de ação dos membros. Nomeie-as, por exemplo
.
- Aplique as três equações de equilíbrio para essa porção:
onde é um ponto conveniente para tomar momentos (escolha um ponto que simplifique, idealmente um que faça as linhas de ação de duas forças passarem por ele, anulando-as no momento).
- Observação sobre ângulos: ao decompor um membro numa equação de força horizontal/vertical, use os cossenos/senos do ângulo entre o membro e os eixos:
Onde é o ângulo entre o membro e o eixo (ou outro referencial que escolher).
Passo 5
Montagem das equações para os membros
(como montar, passo a passo, em forma simbólica):
- Suponha que, após o corte, no diagrama do lado isolado as únicas incógnitas nos cortes sejam
. - Escreva as equações gerais (sin números):
- Onde:
-
, , são os ângulos que cada membro faz com o eixo (ou com a horizontal). -
, , são as distâncias (braços de momento) perpendiculares das linhas de ação de cada força ao ponto escolhido para calcular momentos. -
são os efeitos das forças externas e reações que estão no lado isolado.
-
- Estratégia para resolver:
- Escolher
de forma inteligente: se tomar momentos em um ponto onde passa a linha de ação de, digamos, e , então e essas duas incógnitas desaparecem da equação de momento; daí a equação de momento resolve diretamente . - Depois de encontrar um membro via momento, volte às equações
e para resolver as outras duas incógnitas.
- Escolher
- Exemplo do raciocínio (sem números): suponha que a linha de ação de
e se cruzem no ponto . Então: - O sinal resultante indica se
é positivo (ditamos que positivo = tração) ou negativo (compressão), conforme a convenção adotada. - Em seguida, substitui-se
em e para obter e .
- O sinal resultante indica se
Passo 6
Interpretação do sinal: tração vs compressão (como decidir no exame)
- Convenção simples: assuma por exemplo que a força em cada membro apontando para fora do nó é positiva (tração). Se ao resolver uma incógnita a solução der positiva então o membro está em tração; se der negativa, o membro está em compressão.
- Outra convenção possível: flecha para dentro do nó como positiva; o importante é manter consistência.
- Exemplo didático curto: se ao resolver obtiver
sob a convenção “positivo=puxando” então membro está em tração com . Se obtiver então está em compressão com magnitude .
Passo 7
Regras práticas e atalhos que costumam aparecer em treliças tipo Howe (dicas úteis na prova)
- Identifique os membros diagonais repetidos: em treliças Howe, diagonais vão em sentidos alternados e muitas vezes alguns membros verticais ou diagonais são zero-força sob certas cargas simétricas.
- Cheque nós com apenas dois membros conectados e sem carga: ambos são zero-força (regra rápida).
- Ao fazer o corte, prefira um lado cuja parte isolada contenha poucas cargas externas: isso reduz termos em
. - Sempre desenhe direções hipotéticas das forças internas (setas) e decomponha em componentes antes de escrever as equações.
Passo 8
O que falta para obter os números e por que não posso dar a resposta numérica agora
- Para obter valores numéricos de
é imprescindível conhecer: - As magnitudes e posições das cargas externas mostradas na figura.
- As dimensões da treliça (distâncias horizontais/verticais entre nós) para calcular os braços de momento
e os ângulos . - Os tipos e localizações dos apoios (para calcular reações).
- Como a figura com essas informações não foi enviada, não é possível calcular numericamente as forças. Posso, entretanto, assim que tiver a figura, aplicar imediatamente o método da seção acima e entregar os números passo a passo (recalculo das reações, escolha do corte, equações e solução algébrica).
Resposta
Não é possível determinar numericamente as forças em
,
e
nem indicar tração/compressão porque o enunciado depende de uma figura com as cargas, dimensões dos nós e apoios que não foi fornecida.