A treliça de ponte Howe está sujeita ao carregamento mostrado. Determine as forças nos membros IID, CD e GD e indique se os membros estão sob tração ou compressão.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar as forças nos membros IID, CD e GD e indicar se cada membro está sob tração ou compressão.
O que o enunciado nos dá (ou deveria dar) — informações relevantes que seriam necessárias para resolver:
  • A treliça descrita como “ponte Howe” e um carregamento “mostrado” (isto inclui posições e magnitudes das forças externas).
  • A geometria da treliça: posições dos nós, comprimentos dos membros e ângulos entre membros.
  • As condições de apoio (tipos de apoio e reações na treliça).
Observação importante: o enunciado refere-se a um carregamento “mostrado” em uma figura que não foi fornecida. Sem essa figura não há como obter valores numéricos para as forças, porque faltam as magnitudes e posições das cargas e as dimensões/ângulos da treliça. A partir daqui eu não vou inventar a figura: vou ensinar passo a passo o método que você deve aplicar na prova assim que tiver a figura completa, explicando tudo bem devagar e com exemplos de como montar as equações.

Passo 2

Ideia geral e estratégia (o que normalmente se faz em exercícios de treliça):
  • Primeiro passo: calcular as reações de apoio da treliça usando as equações de equilíbrio do corpo inteiro (estática do corpo rígido).
    • Usam-se as três equações de equilíbrio de um corpo plano: \sum F_x=0, \sum F_y=0 e \sum M=0.
    • Isso fornece as reações em apoios (por exemplo, reação vertical e horizontal em um apoio e reação vertical no outro).
  • Segundo passo: determinar as forças internas nos membros desejados. Dois métodos principais:
    1. Método dos nós (method of joints): isolar um nó e aplicar \sum F_x=0 e \sum F_y=0. Bom quando o nó tem no máximo duas incógnitas.
    2. Método da seção (method of sections): cortar a treliça por uma “seção” que atravessa os membros de interesse e aplicar as três equações de equilíbrio para a porção isolada; ótimo quando se quer resolver diretamente até três incógnitas.
  • Dica prática: use a regra dos “membros nulos” (zero-force members) quando aplicável — isso simplifica muito. Regras úteis:
    • Se um nó tem exatamente dois membros não colineares e não há carga externa nem reação nele, ambos os membros são zero-força.
    • Se um nó tem três membros e dois são colineares e não há carga externa, o terceiro é zero-força.
Vou explicar como executar cada etapa com detalhes.

Passo 3

Cálculo das reações de apoio (aula prática):
  • Identifique os apoios e anote incógnitas das reações, por exemplo \{R_{Ax},R_{Ay}\} no apoio A e \{R_{By}\} no apoio B (dependendo do tipo de apoio).
  • Aplique as equações de equilíbrio do corpo inteiro. Em termos gerais: \sum F_x=0:\quad R_{Ax} + \sum F_{x,\text{ext}} = 0
\sum F_y=0:\quad R_{Ay} + R_{By} + \sum F_{y,\text{ext}} = 0
\sum M_{O}=0:\quad \sum (\text{momento das reações e cargas externas em relação a } O)=0çõçã
  • Aqui O é um ponto conveniente para tomar momentos (muitas vezes toma-se o ponto de um apoio para eliminar suas reações das equações).
  • Explique o que significa cada símbolo:
    • \sum F_x e \sum F_y: somatórios das componentes de força em x e y.
    • R_{Ax}, R_{Ay}, R_{By}: reações desconhecidas nos apoios.
    • \sum F_{x,\text{ext}}, \sum F_{y,\text{ext}}: componentes horizontais e verticais das forças externas que aparecem na figura.
    • \sum M_O: somatório de momentos (torques) em torno do ponto O; momento de uma força é força vezes a distância perpendicular ao ponto.
  • No momento que tiver a figura, calcule essas reações numericamente. Sem a figura não é possível avançar em valores numéricos.

Passo 4

Método da seção — teoria e preparação (motivo por que usá-lo aqui):
  • Quando se quer encontrar diretamente as forças em até três membros arbitrários (aqui: \text{IID}, \text{CD} e \text{GD}), o método da seção é o mais eficiente.
  • Procedimento:
    1. Faça um “corte” imaginário através da treliça que intercepta os membros cujas forças deseja encontrar. A seção deve cortar no máximo três membros internos desconhecidos (se cortar mais, ficará com mais incógnitas do que equações).
    2. Isole um dos lados da treliça cortada (esquerdo ou direito) e desenhe o diagrama de corpo livre dessa parte, mostrando:
      • Todas as forças externas aplicadas nessa parte (cargas e reações de apoio, se presentes no lado isolado).
      • As forças internas nos membros cortados, representadas nas linhas de ação dos membros. Nomeie-as, por exemplo \,F_{IID},\;F_{CD},\;F_{GD}.
    3. Aplique as três equações de equilíbrio para essa porção: \sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M_P=0onde P é um ponto conveniente para tomar momentos (escolha um ponto que simplifique, idealmente um que faça as linhas de ação de duas forças passarem por ele, anulando-as no momento).
  • Observação sobre ângulos: ao decompor um membro numa equação de força horizontal/vertical, use os cossenos/senos do ângulo entre o membro e os eixos: F_{\text{membro},x}=F_{\text{membro}}\cos\theta,\qquad F_{\text{membro},y}=F_{\text{membro}}\sin\theta.Onde \theta é o ângulo entre o membro e o eixo x (ou outro referencial que escolher).

Passo 5

Montagem das equações para os membros \,F_{IID},\;F_{CD},\;F_{GD} (como montar, passo a passo, em forma simbólica):
  • Suponha que, após o corte, no diagrama do lado isolado as únicas incógnitas nos cortes sejam \,F_{IID},\;F_{CD},\;F_{GD}.
  • Escreva as equações gerais (sin números): \sum F_x=0:\quad F_{IID}\cos\theta_{IID} + F_{CD}\cos\theta_{CD} + F_{GD}\cos\theta_{GD} + \sum F_{x,\text{ext}} = 0
\sum F_y=0:\quad F_{IID}\sin\theta_{IID} + F_{CD}\sin\theta_{CD} + F_{GD}\sin\theta_{GD} + \sum F_{y,\text{ext}} = 0
\sum M_P=0:\quad F_{IID}\,d_{IID,P} + F_{CD}\,d_{CD,P} + F_{GD}\,d_{GD,P} + \sum M_{ext,P} = 0
  • Onde:
    • \theta_{IID}, \theta_{CD}, \theta_{GD} são os ângulos que cada membro faz com o eixo x (ou com a horizontal).
    • d_{IID,P}, d_{CD,P}, d_{GD,P} são as distâncias (braços de momento) perpendiculares das linhas de ação de cada força ao ponto P escolhido para calcular momentos.
    • \sum F_{x,\text{ext}},\\ \sum F_{y,\text{ext}},\\ \sum M_{ext,P} são os efeitos das forças externas e reações que estão no lado isolado.
  • Estratégia para resolver:
    • Escolher P de forma inteligente: se tomar momentos em um ponto onde passa a linha de ação de, digamos, \,F_{IID} e \,F_{CD}, então d_{IID,P}=d_{CD,P}=0 e essas duas incógnitas desaparecem da equação de momento; daí a equação de momento resolve diretamente \,F_{GD}.
    • Depois de encontrar um membro via momento, volte às equações \sum F_x e \sum F_y para resolver as outras duas incógnitas.
  • Exemplo do raciocínio (sem números): suponha que a linha de ação de \,F_{IID} e \,F_{CD} se cruzem no ponto P. Então: \sum M_P=0 \Rightarrow F_{GD}\,d_{GD,P} + \sum M_{ext,P} = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{GD} = -\frac{\sum M_{ext,P}}{d_{GD,P}}.
    • O sinal resultante indica se F_{GD} é positivo (ditamos que positivo = tração) ou negativo (compressão), conforme a convenção adotada.
    • Em seguida, substitui-se F_{GD} em \sum F_x=0 e \sum F_y=0 para obter F_{IID} e F_{CD}.

Passo 6

Interpretação do sinal: tração vs compressão (como decidir no exame)
  • Convenção simples: assuma por exemplo que a força em cada membro apontando para fora do nó é positiva (tração). Se ao resolver uma incógnita a solução der positiva então o membro está em tração; se der negativa, o membro está em compressão.
  • Outra convenção possível: flecha para dentro do nó como positiva; o importante é manter consistência.
  • Exemplo didático curto: se ao resolver obtiver F_{GD}=+2000\\ \text{N} sob a convenção “positivo=puxando” então membro \text{GD} está em tração com 2000\\ \text{N}. Se obtiver F_{CD}=-1500\\ \text{N} então \text{CD} está em compressão com magnitude 1500\\ \text{N}.

Passo 7

Regras práticas e atalhos que costumam aparecer em treliças tipo Howe (dicas úteis na prova)
  • Identifique os membros diagonais repetidos: em treliças Howe, diagonais vão em sentidos alternados e muitas vezes alguns membros verticais ou diagonais são zero-força sob certas cargas simétricas.
  • Cheque nós com apenas dois membros conectados e sem carga: ambos são zero-força (regra rápida).
  • Ao fazer o corte, prefira um lado cuja parte isolada contenha poucas cargas externas: isso reduz termos em \sum M.
  • Sempre desenhe direções hipotéticas das forças internas (setas) e decomponha em componentes antes de escrever as equações.

Passo 8

O que falta para obter os números e por que não posso dar a resposta numérica agora
  • Para obter valores numéricos de \,F_{IID},\;F_{CD},\;F_{GD} é imprescindível conhecer:
    • As magnitudes e posições das cargas externas mostradas na figura.
    • As dimensões da treliça (distâncias horizontais/verticais entre nós) para calcular os braços de momento d_{*,P} e os ângulos \theta_{*}.
    • Os tipos e localizações dos apoios (para calcular reações).
  • Como a figura com essas informações não foi enviada, não é possível calcular numericamente as forças. Posso, entretanto, assim que tiver a figura, aplicar imediatamente o método da seção acima e entregar os números passo a passo (recalculo das reações, escolha do corte, equações e solução algébrica).

Resposta

Não é possível determinar numericamente as forças em F_{IID}, F_{CD} e F_{GD} nem indicar tração/compressão porque o enunciado depende de uma figura com as cargas, dimensões dos nós e apoios que não foi fornecida.

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