(1,0 ponto) Faça um esboço da superfície
nos eixos
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação
e pede um esboço nos eixos
.
Informações/objetivos claros:
Informações/objetivos claros:
- A equação relaciona as coordenadas
do espaço . - Precisa-se identificar a forma geométrica dessa superfície e desenhá‑la (esboço).
- Não há outras restrições num enunciado; portanto a intenção é reconhecer a superfície e indicar pontos e seções que ajudem no desenho.
Passo 2
Vamos transformar a equação para uma forma conhecida (a chamada forma centro‑raio). Para isso completamos o quadrado na variável
.
Escrevendo a parte em
:
Substituindo isso na equação original obtemos
Isolando o termo constante:
Passo 3
Interpretando a equação obtida:
esta é precisamente a equação de uma esfera com centro em
e raio
. Explicando cada parte:
-
são as coordenadas no espaço. - O termo
indica que o centro tem coordenada . - O lado direito
é , logo o raio é .
Portanto a superfície
é a esfera de centro
e raio
.
Passo 4
A partir dessa forma é útil identificar pontos notáveis para o esboço (interseções com eixos e pontos extremos).
Interseção com o eixo
(ou seja,
e
):
Logo
, isto é
ou
. Então os pontos são
e
. Esses são os pontos inferior e superior da esfera ao longo do eixo
.
Interseção com os eixos
e
(por exemplo eixo
:
):
Portanto a esfera corta os eixos
e
somente no ponto
(ou seja, não tem interceptos não nulos nesses eixos).
Passo 5
Analisar seções horizontais (planos
constante) para ajudar a desenhar em 3D.
Fixando
obtemos
Isto é, para cada
a interseção com o plano horizontal é um círculo de raio
desde que
. Isso dá a faixa de alturas possíveis:
Observações práticas:
- No plano
(equador) o raio é : a maior secção é o círculo . - Em
e o raio é zero (pontos e ). - À medida que
varia de a o círculo cresce até raio ; de a encolhe de volta a zero.
Passo 6
Seções verticais também ajudam (planos que cortam pelo eixo
). Por exemplo, no plano
a interseção é
que é um círculo de raio
no plano
com centro em
(ou seja, perfil circular). O mesmo vale para o plano
. Isso mostra que os perfis laterais vistos de frente/lado são arcos de círculo.
Passo 7
Como fazer o esboço (passo a passo prático para desenhar na prova):
- Desenhe os três eixos ortogonais
(horizontal para a esquerda/direita), (saindo/entrando) e (vertical). - Marque o centro da esfera em
: no eixo uma unidade acima do plano . - Marque os pontos extremos
(onde a esfera toca o plano ) e (topo). - Desenhe o círculo de maior seção no plano
: um círculo de raio centrado em . - Ligue suavemente formando uma esfera: círculos horizontais menores acima e abaixo do equador. No desenho indique com linha tracejada a parte traseira do círculo do equador para dar noção de 3D.
- Opcional: desenhe também um perfil no plano
(um círculo no plano ) para reforçar a forma.
Dica visual importante: a esfera é tangente ao plano
no ponto
— isso significa que “encosta” no plano inferior exatamente no ponto de origem.
Resposta
A superfície
é a esfera de centro
e raio
, dada por