(1,0 ponto) Faça um esboço da superfície S: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{3}=0 nos eixos x_{1}, x_{2}, x_{3}.

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2x_{3}=0
e pede um esboço nos eixos x_{1},x_{2},x_{3}.
Informações/objetivos claros:
  • A equação relaciona as coordenadas (x_{1},x_{2},x_{3}) do espaço \mathbb{R}^{3}.
  • Precisa-se identificar a forma geométrica dessa superfície e desenhá‑la (esboço).
  • Não há outras restrições num enunciado; portanto a intenção é reconhecer a superfície e indicar pontos e seções que ajudem no desenho.

Passo 2

Vamos transformar a equação para uma forma conhecida (a chamada forma centro‑raio). Para isso completamos o quadrado na variável x_{3}.
Escrevendo a parte em x_{3}:
x_{3}^{2}-2x_{3}=(x_{3}-1)^{2}-1.
Substituindo isso na equação original obtemos
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+(x_{3}-1)^{2}-1=0.
Isolando o termo constante:
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+(x_{3}-1)^{2}=1.

Passo 3

Interpretando a equação obtida:
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+(x_{3}-1)^{2}=1
esta é precisamente a equação de uma esfera com centro em (0,0,1) e raio 1. Explicando cada parte:
  • x_{1},x_{2},x_{3} são as coordenadas no espaço.
  • O termo (x_{3}-1)^{2} indica que o centro tem coordenada x_{3}=1.
  • O lado direito 1 é r^{2}, logo o raio é r=1.
Portanto a superfície S é a esfera de centro (0,0,1) e raio 1.

Passo 4

A partir dessa forma é útil identificar pontos notáveis para o esboço (interseções com eixos e pontos extremos).
Interseção com o eixo x_{3} (ou seja, x_{1}=0 e x_{2}=0):
0+0+(x_{3}-1)^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad (x_{3}-1)^{2}=1.
Logo x_{3}-1=\pm 1, isto é x_{3}=0 ou x_{3}=2. Então os pontos são (0,0,0) e (0,0,2). Esses são os pontos inferior e superior da esfera ao longo do eixo x_{3}.
Interseção com os eixos x_{1} e x_{2} (por exemplo eixo x_{1}: x_{2}=0,x_{3}=0):
x_{1}^{2}+0+(0-1)^{2}=1\quad\Rightarrow\quad x_{1}^{2}+1=1\quad\Rightarrow\quad x_{1}=0.
Portanto a esfera corta os eixos x_{1} e x_{2} somente no ponto (0,0,0) (ou seja, não tem interceptos não nulos nesses eixos).

Passo 5

Analisar seções horizontais (planos x_{3}= constante) para ajudar a desenhar em 3D.
Fixando x_{3}=c obtemos
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1-(c-1)^{2}.
Isto é, para cada c a interseção com o plano horizontal é um círculo de raio
\rho\text{(c)}=\sqrt{\,1-(c-1)^{2}\,}
desde que 1-(c-1)^{2}\ge 0. Isso dá a faixa de alturas possíveis:
(c-1)^{2}\le 1\quad\Rightarrow\quad 0\le c\le 2.
Observações práticas:
  • No plano x_{3}=1 (equador) o raio é \rho(1)=1: a maior secção é o círculo x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1.
  • Em x_{3}=0 e x_{3}=2 o raio é zero (pontos (0,0,0) e (0,0,2)).
  • À medida que x_{3} varia de 0 a 1 o círculo cresce até raio 1; de 1 a 2 encolhe de volta a zero.

Passo 6

Seções verticais também ajudam (planos que cortam pelo eixo x_{3}). Por exemplo, no plano x_{2}=0 a interseção é
x_{1}^{2}+(x_{3}-1)^{2}=1,
que é um círculo de raio 1 no plano (x_{1},x_{3}) com centro em (0,1) (ou seja, perfil circular). O mesmo vale para o plano x_{1}=0. Isso mostra que os perfis laterais vistos de frente/lado são arcos de círculo.

Passo 7

Como fazer o esboço (passo a passo prático para desenhar na prova):
  1. Desenhe os três eixos ortogonais x_{1} (horizontal para a esquerda/direita), x_{2} (saindo/entrando) e x_{3} (vertical).
  2. Marque o centro da esfera em (0,0,1): no eixo x_{3} uma unidade acima do plano x_{3}=0.
  3. Marque os pontos extremos (0,0,0) (onde a esfera toca o plano x_{3}=0) e (0,0,2) (topo).
  4. Desenhe o círculo de maior seção no plano x_{3}=1: um círculo de raio 1 centrado em (0,0,1).
  5. Ligue suavemente formando uma esfera: círculos horizontais menores acima e abaixo do equador. No desenho indique com linha tracejada a parte traseira do círculo do equador para dar noção de 3D.
  6. Opcional: desenhe também um perfil no plano x_{2}=0 (um círculo no plano x_{1}x_{3}) para reforçar a forma.
Dica visual importante: a esfera é tangente ao plano x_{3}=0 no ponto (0,0,0) — isso significa que “encosta” no plano inferior exatamente no ponto de origem.

Resposta

A superfície S é a esfera de centro (0,0,1) e raio 1, dada por
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+(x_{3}-1)^{2}=1.

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