Em cada caso, construa duas funções deriváveis f e g, com \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow \infty} g(x)=\infty, que satisfaçam à condição especificada.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=3

Passo 1

O enunciado pede que eu construa duas funções deriváveis f e g tais que:
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty;
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} g(x)=\infty;
  • e ao mesmo tempo \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=3.
Nada mais foi imposto (por exemplo: continuidade extra, monotonicidade, ou restrição do tipo de função), só que ambas são diferenciáveis e divergem para +\infty enquanto o quociente tende a 3.

Passo 2

Idéia simples e direta: escolher uma função g que tende a +\infty e definir f como f(x)=3\,g(x). Isso garante imediatamente que \dfrac{f(x)}{g(x)}=3 para todos x em que g(x)\neq0, então o limite será 3. Para ficar concreto e elementar (fácil de fazer na prova), escolho a função linear mais simples:
g(x)=x,\qquad f(x)=3x.
Estas funções são diferenciáveis em todo \mathbb{R}. Verificações:
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} g(x)=\lim_{x\to\infty} x=+\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} 3x=+\infty.
  • Para x\neq0 tem-se \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{3x}{x}=3, logo
\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=3.
Também é fácil mostrar derivadas: f'(x)=3 e g'(x)=1, confirmando a diferenciabilidade.

Passo 3

Vou explicar por que essa escolha é robusta e como gerar outras escolhas semelhantes (útil para a prova). Uma estratégia geral é: escolher qualquer g(x) com \lim_{x\to\infty}g(x)=\infty e definir
f(x)=3\,g(x)+h(x),
onde h(x) cresce mais lentamente que g(x), isto é, \dfrac{h(x)}{g(x)}\to0 quando x\to\infty. Nesse caso
\frac{f(x)}{g(x)}=3+\frac{h(x)}{g(x)}\xrightarrow[x\to\infty]{}3.
Funções típicas que satisfazem \dfrac{h(x)}{g(x)}\to0 são h(x)=\log x, h(x)=\sqrt{x} (quando g(x)=x), h(x)=\sin x (quando g(x)=x), etc. Isso dá flexibilidade para construir exemplos que continuam sendo diferenciáveis.

Passo 4

Mostro dois exemplos alternativos, já que na prova pode ser pedido um pouco mais de criatividade:
Exemplo A:
g(x)=x,\qquad f(x)=3x+\sin x.
Verificações:
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} g(x)=+\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty porque 3x\to\infty e \sin x é limitado.
  • \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{3x+\sin x}{x}=3+\dfrac{\sin x}{x}. Como \displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0, obtemos \displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=3.
    Derivadas: f'(x)=3+\cos x (existente em todo \mathbb{R}), g'(x)=1.
Exemplo B:
g(x)=x,\qquad f(x)=3x+\log x\quad(\text{para }x>0).
Verificações:
  • Para x>0, \displaystyle \lim_{x\to\infty} g(x)=+\infty e \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty.
  • \dfrac{f(x)}{g(x)}=3+\dfrac{\log x}{x} e \displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x}=0, logo o quociente tende a 3.
    Derivadas (para x>0): f'(x)=3+\dfrac{1}{x}, g'(x)=1.

Passo 5

Resumo da técnica que de fato cai bem em provas rápidas:
  • Se precisa que \dfrac{f(x)}{g(x)}\to3 e quer funções simples, ponha f(x)=3g(x) com g(x)\to\infty.
  • Se quiser funções não exatamente proporcionais, adicione a f um termo menor que g, isto é, f(x)=3g(x)+h(x) com h(x)=o(g(x)). Exemplos comuns de h (quando g(x)=x) são \sin x, \log x, \sqrt{x} (esta última exige cuidado: \sqrt{x}/x\to0 também funciona), etc.
  • Verifique sempre diferenciabilidade e o limite do quociente escrevendo \dfrac{f(x)}{g(x)}=3+\dfrac{h(x)}{g(x)} e provando que \dfrac{h(x)}{g(x)}\to0.

Resposta

f(x)=3x,\; g(x)=x
f(x)=3x+\sin x,\; g(x)=x
f(x)=3x+\log x,\; g(x)=x

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