Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função
O que é pedido, de forma prática: obter as informações principais (domínio, zeros, simetrias, assíntotas, monotonia, concavidade e pontos de inflexão) e, a partir disso, desenhar a curva. Vou listar primeiro os dados explícitos que temos:
- A expressão algébrica da função é
. - Não há figuras ou valores adicionais no enunciado.
- Portanto preciso analisar a função por cálculo (limites e derivadas) e usar essas informações para o esboço.
Passo 2
Domínio e zeros (interseções com os eixos).
- Domínio: o denominador é
que nunca zera para . Logo o domínio é todo o conjunto dos reais:
- Zeros da função: resolver
equivale a , portanto o único zero real é
- Valor em zero (interseção com o eixo
):
Conclusão prática: a curva passa pela origem; não há outros cortes com os eixos.
Passo 3
Simetria da função.
- Calculo
:
- Como
, a função é ímpar. Consequência importante para o esboço: o gráfico é simétrico em relação à origem (se está no gráfico, também está).
Passo 4
Comportamento para
e assíntotas oblíquas.
- Faço a divisão polinomial para ver a contribuição dominante:
- Como
quando , obtemos
- Portanto a reta
é assíntota oblíqua da função: o gráfico aproxima-se de quando . - Sinal do erro
: para o erro é negativo, logo para a curva fica ligeiramente abaixo da reta ; para a curva fica ligeiramente acima de .
Passo 5
Derivada primeira: monotonia.
- Uso a regra do quociente ou derivo a expressão original. Resultado:
Explicando a fórmula: no numerador está a combinação das derivadas do numerador e denominador (regra do quociente); as variáveis são
e as potências aparecem por diferenciação direta.
- Observação sobre o sinal de
: - O denominador
é sempre positivo. - O numerador
é sempre não-negativo e só zera se .
- O denominador
- Conclusão sobre monotonia:
-
para todo e . - Logo
é estritamente crescente em e em , e tem um ponto crítico em . Como a função é crescente à esquerda e à direita de e o ponto crítico tem derivada zero mas não troca o sentido da monotonia, NÃO é máximo nem mínimo local — é um ponto de nível horizontal (ponto crítico) sem extremum.
-
Passo 6
Derivada segunda: concavidade e pontos de inflexão.
- Calculo
. A conta conduz a:
- Zeros da derivada segunda:
e . - Estudo do sinal de
: - Denominador positivo sempre.
- Sinal dado por
. - Para
tem-se e então (concavidade para cima). - Para
tem-se e então (concavidade para baixo). - Para
tem-se e então (concavidade para cima). - Para
tem-se e então (concavidade para baixo).
- Conclusão:
- Há pontos de inflexão em
, e . - Coordenadas desses pontos:
- Há pontos de inflexão em
Numéricamente
.
Passo 7
Comportamento local perto de
e pontos de referência numéricos.
- Expansão em série (ou observar grau): para
pequeno,
ou seja, para
próximo de
a função se comporta como
. Isso explica por que
e por que
é um ponto de inflexão estacionário (curva muda de concavidade e a tangente é horizontal).
- Valores úteis para esboço:
Passo 8
Resumo das informações para desenhar e instruções práticas de esboço.
- Domínio:
. - Simetria: função ímpar (simetria em relação à origem).
- Interseção com eixos: apenas a origem
. - Monotonia: função crescente para todo
; ponto crítico em que não é extremo (ponto de inflexão estacionário). - Concavidade:
- Concava para cima em
e em . - Concava para baixo em
e em .
- Concava para cima em
- Pontos de inflexão:
, , . - Assíntota oblíqua: reta
. A curva aproxima-se de quando , ficando abaixo de para e acima para . - Como esboçar passo a passo:
- Desenhar a reta
de referência. - Marcar o ponto
e os pontos de inflexão com os respectivos valores aproximados . - Usar a simetria ímpar: desenhar o ramo para
(crescendo, com concavidade para baixo depois de e para cima antes) e refletir pelo origem para obter o ramo negativo. - Garantir que para grandes
a curva se aproxima de por baixo e que para grandes se aproxima de por cima. - Enfatizar que não há máximos ou mínimos locais, apenas o ponto de inflexão em
.
- Desenhar a reta
Passo 9
Dicas finais e verificação rápida.
- Verifique que a derivada é sempre não-negativa para não desenhar máximos falsos.
- Para visualização mental: a curva sobe do quadrante III, atravessa a origem com tangente horizontal, sobe pelo quadrante I aproximando-se da reta
. - Valores numéricos ajudam a posicionar corretamente: por exemplo o ponto
está ligeiramente abaixo de que está na reta .
Resposta
Domínio:
Função ímpar (simetria em relação à origem)
Zero:
Monotonia: crescente em todo ;
com
Concavidade: concava para cima em e
; concava para baixo em
e
Pontos de inflexão: ,
,
Assíntota oblíqua: reta (com
)
Função ímpar (simetria em relação à origem)
Zero:
Monotonia: crescente em todo
Concavidade: concava para cima em
Pontos de inflexão:
Assíntota oblíqua: reta