Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
(k) f(x)=\frac{x^{3}}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função
f(x)=\frac{x^{3}}{1+x^{2}}.
O que é pedido, de forma prática: obter as informações principais (domínio, zeros, simetrias, assíntotas, monotonia, concavidade e pontos de inflexão) e, a partir disso, desenhar a curva. Vou listar primeiro os dados explícitos que temos:
  • A expressão algébrica da função é f(x)=\dfrac{x^{3}}{1+x^{2}}.
  • Não há figuras ou valores adicionais no enunciado.
  • Portanto preciso analisar a função por cálculo (limites e derivadas) e usar essas informações para o esboço.

Passo 2

Domínio e zeros (interseções com os eixos).
  • Domínio: o denominador é 1+x^{2} que nunca zera para x\in\mathbb{R}. Logo o domínio é todo o conjunto dos reais:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • Zeros da função: resolver f(x)=0 equivale a x^{3}=0, portanto o único zero real é
x=0.
  • Valor em zero (interseção com o eixo y):
f(0)=0.
Conclusão prática: a curva passa pela origem; não há outros cortes com os eixos.

Passo 3

Simetria da função.
  • Calculo f(-x):
f(-x)=\frac{(-x)^{3}}{1+(-x)^{2}}=\frac{-x^{3}}{1+x^{2}}=-f(x).
  • Como f(-x)=-f(x), a função é ímpar. Consequência importante para o esboço: o gráfico é simétrico em relação à origem (se (a,b) está no gráfico, (-a,-b) também está).

Passo 4

Comportamento para |x|\to\infty e assíntotas oblíquas.
  • Faço a divisão polinomial para ver a contribuição dominante:
\frac{x^{3}}{1+x^{2}}=x-\frac{x}{1+x^{2}}.
  • Como \dfrac{x}{1+x^{2}}\to 0 quando |x|\to\infty, obtemos
\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-x\right)=0.
  • Portanto a reta y=x é assíntota oblíqua da função: o gráfico aproxima-se de y=x quando x\to\pm\infty.
  • Sinal do erro f(x)-x=-\dfrac{x}{1+x^{2}}: para x>0 o erro é negativo, logo para x>0 a curva fica ligeiramente abaixo da reta y=x; para x<0 a curva fica ligeiramente acima de y=x.

Passo 5

Derivada primeira: monotonia.
  • Uso a regra do quociente ou derivo a expressão original. Resultado:
f'(x)=\frac{3x^{2}(1+x^{2})-x^{3}(2x)}{(1+x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(x^{2}+3)}{(1+x^{2})^{2}}.
Explicando a fórmula: no numerador está a combinação das derivadas do numerador e denominador (regra do quociente); as variáveis são x e as potências aparecem por diferenciação direta.
  • Observação sobre o sinal de f'(x):
    • O denominador (1+x^{2})^{2} é sempre positivo.
    • O numerador x^{2}(x^{2}+3) é sempre não-negativo e só zera se x=0.
  • Conclusão sobre monotonia:
    • f'(x)>0 para todo x\neq 0 e f'(0)=0.
    • Logo f é estritamente crescente em (-\infty,0) e em (0,\infty), e tem um ponto crítico em x=0. Como a função é crescente à esquerda e à direita de 0 e o ponto crítico tem derivada zero mas não troca o sentido da monotonia, x=0 NÃO é máximo nem mínimo local — é um ponto de nível horizontal (ponto crítico) sem extremum.

Passo 6

Derivada segunda: concavidade e pontos de inflexão.
  • Calculo f''(x). A conta conduz a:
f''(x)=\frac{2x(3-x^{2})}{(1+x^{2})^{3}}.
  • Zeros da derivada segunda: x=0 e x=\pm\sqrt{3}.
  • Estudo do sinal de f'':
    • Denominador positivo sempre.
    • Sinal dado por 2x(3-x^{2}).
    • Para x<-\sqrt{3} tem-se x<0 e 3-x^{2}<0 então f''(x)>0 (concavidade para cima).
    • Para -\sqrt{3}<x<0 tem-se x<0 e 3-x^{2}>0 então f''(x)<0 (concavidade para baixo).
    • Para 0<x<\sqrt{3} tem-se x>0 e 3-x^{2}>0 então f''(x)>0 (concavidade para cima).
    • Para x>\sqrt{3} tem-se x>0 e 3-x^{2}<0 então f''(x)<0 (concavidade para baixo).
  • Conclusão:
    • Há pontos de inflexão em x=-\sqrt{3}, x=0 e x=\sqrt{3}.
    • Coordenadas desses pontos:
f(\pm\sqrt{3})=\frac{(\pm\sqrt{3})^{3}}{1+(\sqrt{3})^{2}}=\pm\frac{3\sqrt{3}}{4}.
Numéricamente \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\approx 1{,}299.

Passo 7

Comportamento local perto de 0 e pontos de referência numéricos.
  • Expansão em série (ou observar grau): para x pequeno,
f(x)=\frac{x^{3}}{1+x^{2}}=x^{3}-x^{5}+\cdots,
ou seja, para x próximo de 0 a função se comporta como x^{3}. Isso explica por que f'(0)=0 e por que 0 é um ponto de inflexão estacionário (curva muda de concavidade e a tangente é horizontal).
  • Valores úteis para esboço:
f(1)=\frac{1}{2}=0{,}5,\qquad f(2)=\frac{8}{5}=1{,}6,
f(\sqrt{3})\approx 1{,}299,\qquad f(-1)=-\tfrac{1}{2},\qquad f(-2)=-1{,}6.

Passo 8

Resumo das informações para desenhar e instruções práticas de esboço.
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Simetria: função ímpar (simetria em relação à origem).
  • Interseção com eixos: apenas a origem (0,0).
  • Monotonia: função crescente para todo x; ponto crítico em 0 que não é extremo (ponto de inflexão estacionário).
  • Concavidade:
    • Concava para cima em (-\infty,-\sqrt{3}) e em (0,\sqrt{3}).
    • Concava para baixo em (-\sqrt{3},0) e em (\sqrt{3},\infty).
  • Pontos de inflexão: \bigl(-\sqrt{3},-\tfrac{3\sqrt{3}}{4}\bigr), (0,0), \bigl(\sqrt{3},\tfrac{3\sqrt{3}}{4}\bigr).
  • Assíntota oblíqua: reta y=x. A curva aproxima-se de y=x quando |x|\to\infty, ficando abaixo de y=x para x>0 e acima para x<0.
  • Como esboçar passo a passo:
    1. Desenhar a reta y=x de referência.
    2. Marcar o ponto (0,0) e os pontos de inflexão \pm\sqrt{3} com os respectivos valores aproximados \pm1{,}299.
    3. Usar a simetria ímpar: desenhar o ramo para x\ge 0 (crescendo, com concavidade para baixo depois de x=\sqrt{3} e para cima antes) e refletir pelo origem para obter o ramo negativo.
    4. Garantir que para grandes x a curva se aproxima de y=x por baixo e que para grandes x<0 se aproxima de y=x por cima.
    5. Enfatizar que não há máximos ou mínimos locais, apenas o ponto de inflexão em 0.

Passo 9

Dicas finais e verificação rápida.
  • Verifique que a derivada é sempre não-negativa para não desenhar máximos falsos.
  • Para visualização mental: a curva sobe do quadrante III, atravessa a origem com tangente horizontal, sobe pelo quadrante I aproximando-se da reta y=x.
  • Valores numéricos ajudam a posicionar corretamente: por exemplo o ponto (2,1{,}6) está ligeiramente abaixo de (2,2) que está na reta y=x.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Função ímpar (simetria em relação à origem)
Zero: (0,0)
Monotonia: crescente em todo \mathbb{R}; f'(x)=\dfrac{x^{2}(x^{2}+3)}{(1+x^{2})^{2}} com f'(0)=0
Concavidade: concava para cima em (-\infty,-\sqrt{3}) e (0,\sqrt{3}); concava para baixo em (-\sqrt{3},0) e (\sqrt{3},\infty)
Pontos de inflexão: \bigl(-\sqrt{3},-\tfrac{3\sqrt{3}}{4}\bigr), (0,0), \bigl(\sqrt{3},\tfrac{3\sqrt{3}}{4}\bigr)
Assíntota oblíqua: reta y=x (com f(x)=x-\dfrac{x}{1+x^{2}})

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